Matemática, perguntado por pauloalimg, 4 meses atrás

Ajuda aí galera! Essa eu garrei

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por gJoji
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A resposta para esse exercício é a alternativa E, a integral imprópria é divergente.

Como determinar a integral imprópria ?

Muito além do conhecimento para realizar o cálculo de integrais impróprias é de suma importância que o aluno entenda os conceitos de divergente e convergente para resolver o exercício.

  • Uma integral imprópria converge quando, depois de realizado os cálculos, a resposta converge para um número.

Em outras palavras, se a integral imprópria resultar em um número dizemos que converge, caso contrário, diverge. Assim, para resolvermos essa questão temos:

  • Passo 1) Encontrar a condição de existência da função

Como o denominador não pode ser zero, temos que a condição de existência é:

C.E. ⇒ x ≠ 0

  • Passo 2) Encontrar a integral da função

Utilizando a propriedade de potência:

\frac{1}{x^{a} } =x^{-a}

E a regra de integração:

\int {x^{G} } \, dx  = \frac{x^{G+1} }{G+1} + C

temos que:

\int \frac{1}{x^{4} }  \, dx  = \frac{1}{-3x^{3} } + C

  • Passo 3) Calcular a integral imprópria

Note que:

  • No intervalo [-2;2]  a variável x apresenta o valor 0, ferindo a condição de existência.
  • Dessa forma, vamos dividir em 2 outros intervalos: [-2;b] e [b;2] onde b vai apenas tender a 0, pois x não pode assumir esse valor.

Assim:

\int\limits^2_ {-2}\frac{1}{x^{4} }  \, dx =  \lim_{b \to \(0^{-}} \int\limits^b_{-2}\frac{1}{x^{4} }  \, dx   + \lim_{b \to \(0^{+}} \int\limits^2_{b}\frac{1}{x^{4} }  \, dx

Resolvendo o primeiro termo:

\lim_{b \to \(0^{-}} \int\limits^b_{-2}\frac{1}{x^{4} }  \, dx  = \lim_{b \to \(0^{-}} \frac{1}{-3x^{3} }-(\frac{1}{-3(2)^{3} } ) = \infty

Resolvendo o segundo termo:

\lim_{b \to \(0^{+}} \int\limits^2_{b}\frac{1}{x^{4} }  \, dx  = \lim_{b \to \(0^{+}}\frac{1}{-3(2)^{3} } -( \frac{1}{-3x^{3} }) = \infty

logo:

\int\limits^2_ {-2}\frac{1}{x^{4} }  \, dx = \infty

Como não converge para nenhum número, dizemos que é divergente.

Saiba mais sobre integrais impróprias em:

https://brainly.com.br/tarefa/42674687

Anexos:

pauloalimg: Muito obrigado!
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