Question

AJUDA AEW PESSOAL NAO CONSEGUI RESOLVER... ISSO É UM SISTEMA OK O 1 A ARETE DE CIMA E O 21 A PARTE DE BAIXO

 PARTE 1 DO SISTEMA   LOG(X+Y) = -1
                                                      1/4
 PARTE 2 DO SISTEMA   2LOGX+ LOGY =3
                                                2          2

Answer 1

E aí Pedro,

vamos usar as seguintes propriedades de log:

$.......................................\\ log_bc=k~\to~b^k=c\\ loga+logb~\to~log(a*b)\\ klogb~\to~logb^k\\ .......................................$

$\begin{cases}log_{ \tfrac{1}{4}}(x+y)=-1~~(I)\\ 2log_2x+log_2y=3~~(II) \end{cases}$

Isolando x na equação I, podemos substituí-lo na equação II:

$log_{ \tfrac{1}{4}}(x+y)=-1\\\\ \left( \dfrac{1}{4}\right)^{-1}=x+y\\\\ x+y=(2^{-2})^{-1}\\ x+y=2^2\\ x+y=4\\ x=y-4$

$2log_2x+log_2y=3\\ 2log_2(4-y)+log_2y=3\\ log_2(4-y)^2+log_2y=3\\ log_2(y^2-8y+16)+log_2y=3\\ log_2(y^2-8y+16)*y=3\\ y(y^2-8y+16)=2^3\\ y^3-8y^2+16y=8\\ y^3-8y^2+16-8=0\\\\ (y-2)(y^2-6y+4)=0\\\\ \begin{cases}y-2=0\\ y'=2\end{cases}\begin{cases}y^2-6y+4=0\\ \Delta=(-6)^2-4*1*4\\ \Delta=36-16\\ \Delta=20\\\\ x= \dfrac{-(-6)\pm \sqrt{20} }{2*1}= \dfrac{6\pm2 \sqrt{5} }{2}=3\pm \sqrt{5}\end{cases}$

Tendo achado y, podemos substituí-lo em uma das equações e acharmos x:

Para y=2, x valerá:

$log_{ \tfrac{1}{4}}(x+y)=-1\\\\ \left( \dfrac{1}{4}\right)^{-1}=x+2\\\\ (2^{-2})^{-1}=x+2\\ x+2=2^2\\ x+2=4\\ x=4-2\\ x=2$

Para y=3+√5, x valerá:

$log_{ \tfrac{1}{4}}\left(x+3+\sqrt{5}\right)=-1\\\\ x+3+ \sqrt{5}=4\\ x=4-3-\sqrt{5}\\ x=1- \sqrt{5}$

Para y=3-√5, x valerá:

$log_{ \tfrac{1}{4}}\left(x+3- \sqrt{5}\right)=-1\\\\ x+3- \sqrt{5}=4\\ x=4-3+ \sqrt{5}\\ x=1+ \sqrt{5}$

Portanto, a solução do sistema acima é:

$\boxed{S=\left\{\left(2,2\right);\left(1- \sqrt{5},~3+ \sqrt{5}\right);\left(1+ \sqrt{5},~3- \sqrt{5}\right)\right\}}$

Tenha ótimos estudos =))