Question

AJUDA, 20 PONTOS!!
15. A área do triângulo retângulo representado na figura abaixo é 25 dm². Sabendo que um dos catetos é 2/5 do outro, qual a medida da hipotenusa desse triângulo?

Answer 1

A área de um triângulo é base $\times$ altura dividido por 2. No presente caso, podemos considerar AB como a base e AC como a altura. Logo,

$(AB \times AC)/2=25$

No entanto, sabemos que um dos catetos é 2/5 do outro, isto é, $AC= \frac{2}{5} AB$. Substituindo na fórmula anterior, temos 
$[AB \times (\frac{2}{5}AB)]/2=25 \\ ((AB)^2 \times \frac{2}{5})/2 = 25 \\ (AB)^2 \times \frac{2}{5} = 50 \\ (AB)^2 = \frac{5}{2}\times50 \\ = \frac{250}{2} = 125 \\ AB = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5} \ \text{dm}$


Para obter a medida do outro cateto, basta retornar à relação $AC= \frac{2}{5} AB$. Substituindo AB = $5 \sqrt{5}$, temos

$AC = \frac{2}{5}\times 5 \sqrt{5}= 2 \sqrt{5} \ \text{dm}$

Mas o que realmente buscamos é a hipotenusa. Mas, conhecendo a medida dos dois catetos, podemos obter a medida da hipotenusa através do teorema de Pitágoras:

$(AB)^2 + (AC)^2 = (BC)^2$

Mas AB = 5sqrt{5} dm e AC = 2sqrt{5} dm. Portanto,

$(5 \sqrt{5} )^2 + (2 \sqrt{5})^2 = (BC)^2 \\ 125 + 20 = (BC)^2 \\ (BC)^2 = 145 \rightarrow BC = \sqrt{145} \ \text{dm}$

A medida da hipotenusa é sqrt(145) $\approx$ 12.04 dm.

Answer 2

Resposta: 12,04 dm.

Explicação passo a passo:

(AB*AC)/2=25

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[AB*((2/5)AB)]/2=25

((AB)^2* 2/5)/2=25

(AB)^2 *2/5=50

(AB)^2 =2/5*50 *250/2=125

AB=√125=5√5dm

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AC=2/5*5√5= 2√5dm

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(AB)^2+ (AC)^2=(BC)^2

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(5√5)^2+(2√5)^2 = (BC)^2

125+20=(BC)^2

(BC)^2=145

BC=√145dm

12,04dm