Question

Ajuda!!!
1- Se tivermos uma PA x1, x2, x3, ..., xi, ... de razão 3 que é levada a uma PG y1, y2,y3, ..., yi, ...pela função exponencial f(x) = 4 ∙ 5^x, qual é a razão dessa PG?

2- Numa certa cultura, há 1000 bactérias num determinado instante. Após 10 min, existem 4000. Quantas bactérias existirão em 1 h, sabendo que elas aumentam seguindo a fórmula P = Po∙ e^kt, em que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento?

3- São necessários 5 anos para que o cobalto-60 perca metade de sua radioatividade. Qual é a porcentagem de sua atividade original que permanecerá no fim de 20 anos?

Answer 1

2- Numa certa cultura, há 1000 bactérias num determinado instante. Após 10 min, existem 4000. Quantas bactérias existirão em 1 h, sabendo que elas aumentam seguindo a fórmula $P = P_{o}*e^{kt}$, em que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento?

Para resolver a questão, utilizaremos a fórmula dada que é uma função exponencial do crescimento das bactérias.

 

$N_{O}*e^{kt}$

Primeiro, vamos determinar o valor da taxa "k".

Convertendo o tempo de 10 minutos em horas:

1 hora ---- 60 minutos

t horas ---- 10 minutos

t = 10/60 = 1/6

Logo aplicando na fórmula,

$4000 = 1000*e^{k*\frac{1}{6} } \\e^{\frac{k}{6} } = 4$

Elevando os dois termos à sexta potência (para simplificar o expoente fracionário):

$(e^{\frac{k}{6} } )^{6} = 4^{6} \\e^{k} = 4096$

Para t = 1 hora:

$N = 1000*e^{k*1}$

Como $N = e^{k} = 4096$

N = 1000 . 4096

N = 4.096.000 bactérias ou 4096 x 10⁶

3- São necessários 5 anos para que o cobalto-60 perca metade de sua radioatividade. Qual é a porcentagem de sua atividade original que permanecerá no fim de 20 anos?

5 anos - 50%

10 anos - 25%

15 anos - 12,5%

20 anos - 6,25%

A porcentagem de 20 anos é 6,25%.