Question

aí galera preciso de ajuda quem é bom em matemática.

Answer 1

1) 

$f(x,y) = e^{(x- y^{2} )}$

Para derivar parcialmente em relação a uma variável, considere a outra variável como uma constante, ou seja, um número

$f_{x} = \frac{df}{dx} = \frac{d( e^{(x- y^{2} )})}{dx} . \frac{d(x- y^{2})}{dx} \\ \\ f_{x} = e^{(x- y^{2} )} . 1 = e^{(x- y^{2} )}$

$f_{y} = \frac{df}{dy} = \frac{d( e^{(x- y^{2} )})}{dy} . \frac{d(x- y^{2})}{dy} \\ \\ f_{y} = e^{(x- y^{2} )} . (-2y) =-2y e^{(x- y^{2} )}$

2)

$y' = \frac{1}{ e^{3x} }$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{ e^{3x} } \\ \\ dy = \frac{1}{ e^{3x} } dx$

Integrando ambos os lados:

$\int\ {} \, dy = \int\ {\frac{1}{ e^{3x} } } \, dx \\ \\ \int\ {} \, dy = \int\ {e^{-3x} } \, dx \\ \\ y(x) = \frac{e^{-3x}}{-3} + C \\ \\ y(x) = -\frac{e^{-3x}}{3} + C$

Como 

y(0) = 0

$y(0) = -\frac{e^{-3.0}}{3} + C \\ \\ 0 = -\frac{e^{0}}{3} + C \\ \\ 0= -\frac{1}{3} + C \\ \\ C =\frac{1}{3}$

Assim, 

$y(x) = -\frac{e^{-3x}}{3} + C \\ \\ y(x) = -\frac{e^{-3x}}{3} + \frac{1}{3} \\ \\ \boxed{\boxed{y(x) = \frac{1-e^{-3x}}{3}}}$