Question

Agradeço aos que fizerem essa Questão:
Num Triângulo Isósceles,o Perímetro ,mede 64m e os ângulos x da base são tais que Cos x = 7/25. Assim ,calcule :

a) O Comprimento da Base desse Triângulo

b) A Área desse Triângulo

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Boa noite!

No triângulo isóceles, temos 2 medidas iguais e uma diferente. Sabemos também que o perímetro é a soma dos lados de qualquer figura geométrica. Chamando as medidas iguais de 'y' e a medida diferente de 'x', temos que:

$2y + x = 64$

Dividindo esse triângulo imaginário ao meio, fazemos um triângulo retângulo, cuja base será x/2. E a hipotenusa é igual a um dos lados iguais. A hipotenusa é, portanto, igual a 'y'.

Com a fórmula do cosseno, temos que: cos = cat. adj. / hipotenusa.

A hipotenusa nós temos, que é 'y'. E o cateto adjacente é equivalente a x/2. Com isso,

$\frac{7}{25} = \frac{ \frac{x}{2} }{y} \\ \frac{7}{25} = \frac{x}{2y} \\ 14y = 25x$

Observe que agora temos 2 equações. Com isso, podemos fazer um sistema para descobrir os valores de 'x' e 'y'.

$2y + x = 64 \\ 14y = 25x$

Com a primeira equação, isolando o 'x', temos que:

$x = 64 - 2y$

Agora, substituindo na segunda fórmula, obteremos:

$14y = 25 \times (64 - 2y) \\ 14y = 1600 - 50y \\ 64y = 1600 \\ \\ y = 25m$

Sob posse do 'y', que é nossa hipotenusa, podemos descobrir o 'x', que é nossa base, substituindo em qualquer uma das fórmulas.

$x = 64 - 2 \times (25) \\ x = 64 - 50 \\ \\ x = 14m$

Descobrindo 'x', que escolhemos como nossa base no começo, temos que:

Questão A:

$x = 14m$

Com a base, podemos descobrir agora a área do triângulo retângulo através da fórmula:

$a = \frac{b \times h }{2}$

Precisamos apenas da altura do triângulo agora. Conseguiremos encontrá-la através do teorema de Pitágoras, em que a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos catetos ao quadrado. Observar que um dos catetos é a altura 'h' que queremos descobrir.

${25}^{2} = {7}^{2} + {h}^{2} \\ 625 = 49 + {h}^{2} \\ 576 = {h}^{2} \\ \sqrt{576} = h \\ \\ 24 = h$

Com a altura do triângulo, de 24 m, podemos encontrar a área:

$a = \frac{7 \times 24}{2} \\ \\ a = 84 {m}^{2}$

Observar que eu usei a base como 7, pois como explicado no começo, o triângulo isóceles foi "dividido" ao meio, criando 2 triângulos retângulos. Para encontrar a área total, basta que multipliquemos essa medida por 2.

Questão B:

$at = 84 \times 2 \\ \\ at = 168 {m}^{2}$