Question

Agradeceria se alguém pudesse me explicar passo a passo a resolução dessa equação exponencial, tentei ao máximo chegar a uma equação do segundo grau usando a substituição de variável, mas encontrei algumas inconsistências, agradecido desde já!

E) $\frac{0,2^{x-0,5}}{\sqrt{5} } = 5.0,04^{x-1}$

Answer 1

Resolução:

Há várias formas de resolver esse tipo de equação. No entanto, nesse caso, transformando os valores decimais em frações, o problema pode ser elucidado de uma forma mais rápida. Logo, a equação pode ser reescrita da seguinte forma:

$\frac{(2/10)^{x-(1/2)}}{\sqrt{5} } =5*(\frac{4}{100})^{x-1}$

Ou, simplificando as frações...

$\frac{(1/5)^{x-(1/2)}}{\sqrt{5} } =5*(\frac{1}{25})^{x-1}$

Agora, convém tomar posse do fato de $a^{b-c}=\frac{a^b}{a^c}$, desde que a seja não nulo. Nesse sentido, segue:

$\frac{(1/5)^x/(1/5)^{1/2}}{\sqrt{5} } =5*\frac{(1/25)^x}{(1/25)^1}$

Aplica-se as seguintes propriedades: $(\frac{x}{y})^k=\frac{x^k}{y^k}$ e $a^\frac{b}{n} = \sqrt[n]{a^b}$. Ora, a equação é reescrita (lembrando que $1^x=1$):

$\frac{(1/5^x)/(1/\sqrt{5} )}{\sqrt{5} } = 5*\frac{1/25^x}{1/25}$

Assim, como $\frac{1}{\sqrt{5} }*\frac{1}{1/\sqrt{5} }=\frac{1}{\sqrt{5} }*\sqrt{5} = 1$ e $5*\frac{1}{1/25} =5*5^2 = 5^3$, a equação mostra que (considerando as propriedades $\frac{1}{a^p}=a^{-p}$ e ${(a^b)}^c=a^{bc}$):

$\frac{1}{5^x}=5^3*\frac{1}{(5^2)^x}$

$5^{-x}=5^3*\frac{1}{5^{2x}}$

$5^{-x}=5^3*5^{-2x}$

$5^{-x}=5^{3-2x}$

Chegamos a duas potências de mesma base. Podemos, então, igualar os expoentes:

$-x=3-2x=>2x-x=3$

x=3

Espero ter ajudado.