Question

(AFA 1999) O número de raízes reais da equação $X^{2} -2X-13=5 \sqrt{ X^{2}-2X-7 }$ é?

Answer 1

 Olá!

Desenvolvendo a equação irracional acima,

$\\ \mathsf{x^2 - 2x - 13 = 5\sqrt{x^2 - 2x - 7}} \\\\ \mathsf{(x^2 - 2x - 7) - 6 = 5\sqrt{x^2 - 2x - 7}}$

Considere,

$\mathbf{x^2 - 2x - 7 = \lambda}$

 Substituindo,

$\\ \mathsf{\lambda - 6 = 5\sqrt{\lambda}} \\\\ \mathsf{(\lambda - 6)^2 = (5\sqrt{\lambda})^2} \\\\ \mathsf{\lambda^2 - 12\lambda + 36 = 25\lambda} \\\\ \mathsf{\lambda^2 - 37\lambda + 36 = 0} \\\\ \mathsf{(\lambda - 1)(\lambda - 36) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{S = \left \{ 1, 36 \right \}}}$


 Todavia, devemos determinar os valores de "x". Assim, devemos verificar quais valores de $\mathbf{\lambda}$ satisfazem a equação irracional. Segue,

Verificando $\mathsf{\lambda = 1}$:

$\\ \mathsf{\lambda - 6 = 5\sqrt{\lambda}} \\\\ \mathsf{1 - 6 = 5\sqrt{1}} \\\\ \mathsf{- 5 = 5 \qquad \qquad (F)}$


Verificando $\mathsf{\lambda = 36}$:

$\\ \mathsf{\lambda - 6 = 5\sqrt{\lambda}} \\\\ \mathsf{36 - 6 = 5\sqrt{36}} \\\\ \mathsf{30 = 5 \cdot 6 \qquad \qquad (V)}$


 Portanto, podemos concluir a questão afirmando que o número de raízes da equação, dada inicialmente, é DUAS.

Obs.: se tivéssemos que determinar as raízes...

$\\ \mathsf{x^2 - 2x - 7 = \lambda} \\\\ \mathsf{x^2 - 2x - 7 = 36} \\\\ \mathsf{x^2 - 2x - 43 = 0} \\\\ \mathsf{(...)}$