Question

(AFA - 1996) O produto das raízes da equação


$\large\text{ \sf\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\Big)^x+\Big(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\Big)^x=4 }$

pertence ao conjunto dos números


a) naturais e é primo.

b) inteiros e é múltiplo de quatro.

c) complexos e é imaginário puro.

d) racionais positivos e é uma fração imprópria.

Answer 1

$\displaystyle\sf \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\ \right )^{x}+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\ \right)^{x}=4$

Note que :

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}. \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2 }} \\\\\\ \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{4-3}} = \sqrt{2-\sqrt{3}}$

$\displaystyle \sf \underline{\text{Ent{\~a}o fa{\c c}amos }}:\\\\ \sqrt{2+\sqrt{3}} = a \\\\ \sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{1}{a} \\\\\\ \underline{Da{\'i}}:$

$\displaystyle \sf a^x+\left(\frac{1}{a}\right)^{x} = 4 \\\\\\ a^x+\frac{1}{a^x}= 4 \\\\\\ a^x\cdot a^x+1 = 4\cdot a^x \\\\ a^{2x}-4a^{x}+ 1 = 0 \\\\ a^{2x}-4a^x + 1+3= 3 \\\\ a^{2x}-4a^{x}+4 = 3 \\\\ (a^x-2)^2 = 3 \\\\ a^x-2 = \pm\sqrt{3} \\\\ a^x = 2+\sqrt{3} \ \ ; \ \ a^{x}=2-\sqrt{3}$

Desfazendo a troca de variável :

$\displaystyle \sf \underline{1^{a} \ solu{\c c}{\~a}o} : \\\\ \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\ \right)^x = 2+\sqrt{3} \\\\\\ (2+\sqrt{3})^{\displaystyle \frac{1.x}{2}} =(2+\sqrt{3})^{1 } \\\\\\ \frac{x}{2} = 1 \to \boxed{\sf x = 2} \\\\\\ \underline{2^{a} \ solu{\c c}{\~a}o}: \\\\\\ \left (\sqrt{2+\sqrt{3}}\ \right ) ^{x} = 2-\sqrt{3} \\\\\\ \left (\sqrt{2+\sqrt{3}}\ \right ) ^{x} = (2+\sqrt{3}\ )^{-1 } \\\\\\ \left(2+\sqrt{3}\right )^{\displaystyle \frac{x}{2}}=\left(2+\sqrt{3}\right)^{-1} \\\\ \boxed{\sf x=-2}$

Portanto o produto das raízes será : (2)(-2) = -4

Número inteiro e é múltiplo de quatro.

( Letra b )

Answer 2

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⠀⠀O produto das raízes da equação dada pertence ao conjunto dos números inteiros e é múltiplo de quatro, que corresponde à alternativa b).

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⠀⠀De início a questão nos dá a equação exponencial a seguir:

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                                 $\large\text{ \sf\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\Big)^x+\Big(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\Big)^x=\ 4 }$

⠀

⠀⠀Onde precisamos encontrar suas raízes (que nesse contexto são os valores para ''x'' que satisfazem a igualdade) de modo a determinar a alternativa correta.

⠀⠀Primeiramente podemos pensar em fazer algum artifício, mas por ora é impossível, visto que os radicais são diferentes. Todavia, se pensarmos na racionalização de denominadores veremos que o inverso de (2 + √3) ou de (2 – √3) vai implicar no uso da racionalização, tornando-se uma das chaves para solucionar a questão. Veja que:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf2+\sqrt{3}\\\\\\\sf\implies~~~~\big(2+\sqrt{3}\,\big)^{-1}\\\\\\\sf\implies~~~~\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\,,\ racionalizando\!:\\\\\\\sf\implies~~~~\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\cdot\dfrac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\\\\\\\sf\implies~~~~\dfrac{2-\sqrt{3}}{\big(2+\sqrt{3}\,\big)\big(2-\sqrt{3}\,\big)}\\\\\\\sf\implies~~~~\dfrac{2-\sqrt{3}}{2^2-\sqrt{3}^2}\\\\\\\sf\implies~~~~\dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3}\\\\\\\sf\implies~~~~\dfrac{2-\sqrt{3}}{1}\\\\\\\sf\implies~~~~2-\sqrt{3}\end{array}$

⠀

⠀⠀Ou seja, 2 – √3 = (2 + √3)⁻¹, assim podendo fazer essa substituição na equação proposta, de modo a obter:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\Big)^x+\Big(\sqrt{2-\sqrt{3}}\,\Big)^x=\ 4\\\\\\\sf\implies~~~~\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\Big)^x+\bigg(\sqrt{\big(2+\sqrt{3}\,\big)^{-\,1}}\,\bigg)^x=\ 4\\\\\\\sf\implies~~~~\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\Big)^x+\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\Big)^{\!-\,x}=\ 4\end{array}$

⠀

⠀⠀Note que agora sim temos radicais iguais, que era o que precisávamos. Dessa forma podemos fazer a substituição: [√(2 + √3)]ˣ = y nessa equação artificiosa, de forma que:

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$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf y+y^{-\,1}=4\\\\\\\sf\implies~~~~y+\dfrac{1}{y}=4\\\\\\\sf\implies~~~~y\cdot y+1=y\cdot4\\\\\\\sf\implies~~~~y^2+1=4y\\\\\\\sf\implies~~~~y^2-4y+1=0\\\\\sf~~~~~~~~~~~ \dots \\\\\sf\implies~~~~y_1=2+\sqrt{3}\ \vee\ y_2=2-\sqrt{3}\end{array}$

⠀

⠀⠀Enfim, para não estender muito, após calcular as raízes ''y'' da equação quadrática encontramos que 2 + √3 ou 2 – √3 são valores verdadeiros para y. Assim, retomando à substituição [√(2 + √3)]ˣ = y₁ encontraremos:

⠀

$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\Big)^x=y_1\\\\\\\sf\implies~~~~\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\Big)^x=2+\sqrt{3}\\\\\\\sf\implies~~~~\Big[\big(2+\sqrt{3}\,\big)^\frac{1}{2}\,\Big]^x=2+\sqrt{3}\\\\\\\sf\implies~~~~\Big(2+\sqrt{3}\,\Big)^{^x/_2}=\big(2+\sqrt{3}\,\big)^1\\\\\\\sf\implies~~~~\dfrac{x}{2}=1\\\\\\\sf\implies~~~~x=2\cdot1\\\\\\\implies~~~~\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=2}}\end{array}$

⠀

⠀⠀E retomando à [√(2 + √3)]ˣ = y₂:

⠀

$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\Big)^x=y_2\\\\\\\sf\implies~~~~\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\Big)^x=2-\sqrt{3}\end{array}$

⠀

⠀⠀Lembra que 2 – √3 = (2 + √3)⁻¹ ? Logo teremos:

⠀

$\begin{array}{l}\implies~~~~\sf\Big(\sqrt{2+\sqrt{3}}\,\Big)^x=\big(2+\sqrt{3}\,\big)^{-\,1}\\\\\\\sf\implies~~~~\Big[\big(2+\sqrt{3}\,\big)^\frac{1}{2}\,\Big]^x=\big(2+\sqrt{3}\,\big)^{-\,1}\\\\\\\sf\implies~~~~\Big(2+\sqrt{3}\,\Big)^{^x/_2}=\big(2+\sqrt{3}\,\big)^{-\,1}\\\\\\\sf\implies~~~~\dfrac{x}{2}=-\,1\\\\\\\sf\implies~~~~x=2\cdot(-\,1)\\\\\\\implies~~~~\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=-\,2}}\end{array}$

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⠀⠀PORTANTO, as raízes dessa eq. exponencial são x₁ = 2 ∨ x₂ = – 2 e, o produto x₁x₂ = 2(– 2) = – 4. Dessarte, – 4

• a) não pertence aos naturais e não é primo;
• b) pertence aos inteiros e é múltiplo de quatro;
• c) não pertence aos complexos e não é imaginário puro;
• d) não pertence aos racionais positivos e não é uma fração imprópria.

⠀⠀Conclui-se, então, que a alternativa b) é a correta.

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                             $\large\boldsymbol{\mathsf{-x-}~~Q\upsilon es\tau\alpha\theta~f\iota\eta\alpha l\iota z\alpha\delta\alpha~~\mathsf{-x-}}$

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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       $\large\boldsymbol{O\beta r\iota g\alpha\delta\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cor\delta\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!\ \heartsuit\heartsuit}$