Question

Adriano , Bruno , César e Daniel são quatro bons amigos . Daniel não tinha dinheiro , mas os outros tinham . Adriano deu a Daniel um quinto do seu dinheiro , Bruno deu um quarto do seu dinheiro e César deu um terço do seu dinheiro . Cada um deu a mesma quantia . A quantia que Daniel possui agora representa que fração da quantia total que seus três amigos juntos possuíam inicialmente ?

Answer 1

Adriano = x
Bruno = y
César = z
Daniel = x/5 + y/4 + z/3
           
Como cada um deu a mesma quantia, temos que:

x/5 = y/4 = z/3

Logo:

(1) x/5 + x/5 + x/5 = 3x/5
(2) y/4 + y/4 + y/5 = 3y/4
(3) z/3 + z/3 + z/3 = 3z/3 = z

Podemos dizer que por (3), Daniel, após cada um doar parte de suas respectivas quantias, ficou com o mesmo valor que César tinha inicialmente (antes de doar 1/3 do que possuía).

Daniel ficou com a quantia z (guarde essa informação)


Podemos expressar a quantia de Adriano e Bruno com base na de César.

Veja:

A quantia cedida por cada um foi a mesma, então, significa que:


Adriano:

Cada 1/5 de sua parte é igual a 1/3 da de César.

Daí:

Adriano possuía 5 vezes 1/5 (valor por ele doado), ou seja, 5 vezes 1/3 da quantia de César. Logo, Adriano ficou com 5z/3.


Bruno:

Cada 1/4 de sua parte é igual a 1/3 da de César.

Daí:

Bruno possuía 4 vezes 1/4 (valor por ele doado), ou seja, 4 vezes 1/3 da quantia de César. Logo, Adriano ficou com 4z/3.


César:

Possuía z.


Agora, somando a quantia que cada um ficou, temos:

5z/3 + 4z/3 + z =

Multiplicando tudo por 3:

5z + 4z + 3z = 12z

12z é o valor da soma das quantias iniciais entre Adriano, Bruno e César.


Determinando a fração que Daniel possui em relação à soma das quantias iniciais de seus três amigos:


Daniel, após receber as doações, ficou com a quantia z (calculamos este valor logo no começo. Lembra?)

Então:

Quantia de Daniel/Soma das Quantias Iniciais

z/12z = 1/12


Portanto, Daniel possui 1/12 da quantia total que seus três amigos possuíam juntos inicialmente.