Question

Admita que, em um determinado lago, a cada 40 cm de profundidade, a intensidade de luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h, em centímetros, e Io é a intensidade na superfície. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, é de 32% daquela observada na superfície. A profundidade do ponto P, em metros, considerando log2 = 0,3, equivale a:

Escolha uma:
a. 3,2
b. 1,8
c. 0,64
d. 2,0

Answer 1

$I = I_0. (\frac{4}{5})^{ \frac{P}{0,4} } \\ \\ \frac{32.I_0}{100} = I_0. (\frac{4}{5})^{ \frac{P}{0,4} } \\ \\ \frac{8}{25} = (\frac{4}{5})^{ \frac{P}{40} } \\ \\ log ( \frac{8}{25} ) = log ( \frac{4}{5} )^{ \frac{P}{40} } \\ \\ log8 - log25 = \frac{P}{40}.(log4 - log5) \\ \\ log2^3 - log5^2 = \frac{P}{40}.(log2^2 - log5)$

Não quero perder muito tempo fazendo as contas, então vou relembrar rapidinho umas coisinhas:

$log5 = log \frac{10}{2} = log10 - log2 = 1 - 0,3 = 0,7 \\ \\ \\ log2^2 = 2.log2 = 2.0,3 = 0,6 \\  log5^2 = 2.log5 = 2.0,7 = 1,4 \\ "tombamento"$

Vou fazer tudo direto:

$log2^3 - log5^2 = \frac{P}{0,4}.(log2^2 - log5) \\ \\ 3.0,3 - 2.0,7 = \frac{P}{0,4}.(2.0,3 - 0,7) \\ \\ 0,9 - 1,4 = \frac{P}{0,4}.(0,6 - 0,7) \\ \\ -0,5 = \frac{P.(-0,1) }{0,4} \\ \\ P = \frac{ (-0,5).(0,4) }{ (-0,1) } \\ \\ P = 2,0m$

Qualquer dúvida é só mandar.

Answer 2

Vamos lá:

I = Io . 0,8^(h/40)

32%IO= IO.0,8^(h/40) -----> Transformando em fração.

32/100.IO = IO.8/10^(h/40) -----> Isolando a incógnita.

32/100.IO/IO = 8/10^(h/40) -------> Podemos cancelar IO com IO ficando 1

32/100 = 8/10^(h/40)

Como a incógnita esta no expoente podemos aplicar log dos 2 lados, desta forma o (h/40) ira cair multiplicando o 8/10

log32/100 = (log8/10)h/40

Aplicando a propriedade de quando a um quociente no logaritmando dos 2 lados ficaremos com

log32 - log 100 = (log8 - log10)h/40

Agora podemos escrever ambos de forma fatorada:

log2^5 - log10^2 = (log2^3 - log10^2)h/40

5log2 - 2log10 = (3log2 - 2log10)h/40

Ambas as bases  são 10, e tem uma propriedade que nos diz que quando a base for igual ao logaritmando o log sera 1. Se tu der uma olhada isso acontece com o log de 2log10

5log2 - 2.1 = (3log2 -1)h/40

Como ele nos diz que o log de 2 vale 0,3 podemos reescrever da seguinte forma

5.0,3 - 2 = (3.0,3 -1)h/40

1,5 - 2 = (0,9 - 1)h/40

- 0,5 = -0,10.h/40 --------> Esse 40 que ta dividindo vai para o outro lado multiplicando o 0,5

-0,5.40 = -0,10h

-20 = -0,10h

-20/-0,10h = 200

As respostas estão em metros, a que condiz com nossa resposta é a letra C pois nosso resultado é em centímetros. E 200 cm equivale a 2 metros