Question

Adicionando se uma constante a 20, 50, 100, obtêm se na ordem dada três termos consecutivos em p.g. Calcule a razão dessa p.g.

Answer 1

E aí Rodrigo,

chamando essa constante de k, teremos os três termos em P.G.:

$(20+k,~50+k,~100+k)$

Aplicando a média geométrica que diz:

"O quadrado do termo central é igual ao produto dos termos extremos"

$(a_1,a_2,a_3)~\to~(a_2)^2=(a_1).(a_3)\\\\ (50+k)^2=(20+k).(100+k)\\ 2.500+100k+k^2=2.000+120k+k^2\\ 100k-120k=2.000-2.500\\ -20k=-500\\\\ k= \dfrac{-500}{-20}\\\\ k=25$

Sabendo-se que a constante k vale 25, vamos substituí-la na sequência acima:

$(20+25,~50+25,~100+25)~\to~(45,75,125)$

Para descobrirmos a razão de uma progressão geométrica, basta dividirmos um termo pelo seu antecessor:

$q= \dfrac{a_2}{a_1}~\to~q= \dfrac{75}{45}~\to~q= \dfrac{75:15}{45:15}~\to~q= \dfrac{5}{3}\\\\\\ q= \dfrac{a_3}{a_2}~\to~q= \dfrac{125}{75}~\to~q= \dfrac{125:25}{75:25}~\to~q= \dfrac{5}{3}$

Concluímos então que a razão q, dessa P.G. é:

$\boxed{q= \dfrac{5}{3}}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))