Question

Adição e subtração de matrizes Sendo A=[83 2 4 1 5] B=[1 4 5 3 85] C=[-18-2-4-3-5] Calcule A-) A+B B-) A+C C-) B+C D-) A+B+C E-) A-B F-) B-C

Answer 1

Resposta:

Propriedades : Verificadas as condições de existência, para a multiplicação de matrizes são válidas as seguintes propriedades: Associativa: (A.B).C = A.(B.C) Distributiva em relação à adição: A.(B+C) = A.B + A.C (A+B).C = A.C + B.C Elemento Neutro: A. = .A = A onde é a matriz identidade de ordem n. Atenção: Não valem as seguintes propriedades: Comutativa, pois, em geral, A.B B.A Sendo uma matriz nula, A.B = não implica, necessariamente, que A = ou B = . Exemplos: 1) Sendo A= e B= , vamos determinar A.B e B.A e comparar os resultados Solução: A.B = . = 2.1 + 3.3 = 2 + 9 = 11 = 2.2 + 3.4 =4 + 12 = 16 = 4.1 + 1.3 = 4 + 3 = 7 = 4.2 + 1.4 = 8 + 4 = 12 Assim: A.B = . = \ufffd B.A = . = \ufffd Comparando os resultados, observamos que A.B B.A, ou seja, a propriedade comutativa para multiplicação de matrizes não vale. Seja A= , determine: A.B B.A Solução: a) A.B = = = b) B.A = = = Conclusão: Verificamos que A.B B.A 8. Matriz Inversa: Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz , de mesma ordem, tal que A. = .A = , então é matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se A. = .A = , isto implica que é a matriz inversa de A, e é indicada por ). Notação: Exemplo: Sendo A = , vamos determinar a matriz inversa de A, se existir. Solução: Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A. Como, para que exista inversa, é necessário que A. = .A = , vamos trabalhar em duas etapas: Passo: Impomos a condição de que A. = e determinamos : = \ufffd\ufffdEMBED Equation.3\ufffd\ufffdEMBED Equation.3. = \ufffd A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo método da adição e chegamos à: Assim temos: que, matriz A= é definida de tal modo que . Então, A é igual a: a-) b-) c-) d-) e-) 18-) (PUC-SP) Dadas as matrizes A= e B= , quadradas de ordem 2, com , se C=A + B, então é igual a: a-) b-) c-) d-) e-) 8-) Determine a relação existente entre as matrizes A= e B= . 9-) Sendo a matriz A= simétrica, determine c e y. 10-) Sendo A= , onde =2i-j, e B= , com = , determine X tal que 3A + 2X = 3B. 11-) Sendo A= e , calcule as matrizes X e Y no sistema . 12-) Sendo A= e B=-2A, determine a matriz X, tal que 13-) Dadas as matrizes A= , tal que = i - j, B= , tal que com = e C = AB, determine o elemento . 14-) Sendo A= , calcule . 15-) Determine a matriz X, tal que , sendo A= e B= . 19-) Verifique se B= é inversa de A= 20-) Determinar, se existir, em cada caso: a-) A= b-) A= . 21-) Sendo A= , calcule . 22-) As matrizes A, B e C são invertíveis e de mesma ordem 2. Sendo B. e C.B = A, determine C e . 23-) (MACK) A é uma matriz mxn e B é uma matriz mxp. A afirmação falsa é: a-) A + B existe se, e somente se, n = p b-) A= implica m = n ( = transposta de A) c-) A.B existe se, e somente se, n = p d-) A. existe se, e somente se, n = p e-) .B sempre existe Respostas a) b) c) x=2, y=-9 e z=-7 a) b) c) X= e Y= a) b) c) X= e Y= A= c=0 e y=2 X= X= e Y= X= 2 X= a) b) c) AC= A d) CA= C alternativa a) alternativa b) Sim, B é inversa de A a) b) A inversa da inversa de uma matriz A é a própria matriz A. C= Alternativa c) \ufffd II \u2013 DETERMINANTES Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Aplicações dos determinantes na matemática: Cálculo da matriz inversa; Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; Cálculo da área de um triângulo, quando são conhecidas as coordenadas dos vértices. Determinante de primeira ordem Dada uma matriz quadrada de ordem M= , chamamos de determinante associado à matriz M o número real . Notação: det M ou = Exemplos: 1. 2. Determinante de segunda ordem Dada a matriz M= , de ordem 2, por definição, temos que o determinante associado a essa matriz, ou seja, o determinante de ordem é dado por: Assim: Exemplo: Sendo M= , então: det M= Logo: det M = -2 Conclusão: O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 3. Menor Complementar Chamamos de menor complementar relativo ao elemento de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o determinante , de ordem n \u2013 1, associado à matriz obtida de M quando suprimos a linha e a coluna que passam por . Exemplo 1: Dada a matriz M= , de ordem 2, para determinarmos o menor complementar relativo ao elemento ( ), retiramos a linha 1 e a coluna 1; MC = menor complementar , logo, Da mesma forma temos que o MC relativo ao elemento é dado por: , logo, e assim por diante. Exemplo 2: Dada a matriz M= , de ordem 3, vamos determinar: Solução: OBS.: Vamos denotar \u201cmenor complementar\u201d por MC retirando a linha 1 e a coluna 1 da matriz dada acima , temos que: = b) retirando a linha 1 e a coluna 2 da matriz dada acima, temos que: = = c) retirando a linha 1 e a coluna 3 da matriz dada acima, temos que: = = d) retirando a linha 2 e a coluna 1 da matriz dada acima, temos que: = = 4. Cofator Chamamos de cofator (ou complemento algébrico) relativo ao elemento de uma matriz quadrada de ordem n o número , tal que.