Question

(Adaptada - UEM 2012) Considere uma pista de ciclismo de forma circular com extensão de 900 m e largura para comportar dois ciclistas lado a lado. Dois ciclistas A e B partem do mesmo ponto inicial P dessa pista e no mesmo instante. O ciclista A parte com velocidade constante de 36 km/h no sentido anti-horário e o ciclista B com velocidade constante de 54 km/h no sentido horário. Desprezando-se pequenas mudanças de trajetória e posição, o primeiro encontro entre os ciclista ocorrerá após:
A
18 s
B
36 s
C
60 s
D
90 s
E
180 s

Answer 1

Como o movimento se dá numa trajetória circular temos que trabalhar com variáveis circulares. Então, a fórmula do sorvete do MRU se transforma no MCU em: 

S = So + V.t 
para 
f = fo + w.t 

sendo
w = velocidade angular
f = posição angular sobre a trajetória

Adotando o ponto P como origem, o sentido anti-horário como positivo, e o sentido horário como negativo, teremos: 

fa = 0 + wa.t 
fb = 2.pi - wb.t 

obs: a posição inicial foi considerada como 2.pi para o ciclista B, pois como eles partem em sentidos opostos eles irão se encontrar ainda na primeira volta de cada um. Então, é como se B estivesse na frente e voltando para se encontrar com A. 

Achando o w (w = v/r) 
wa = 10/r 
wb = -15/r 
obs: 10 e 15 são as velocidades transformadas para m/s. O negativo para B é porque adotamos o sentido horário como negativo. 

Temos que achar o raio: 
2.pi.r = 900 
r = 450/pi 

Agora reescrevemos as equações: 
fa = (10/r).t = (10.pi/450).t 
fa = (pi/45).t rad/s 

fb = 2.pi - (15/r).t = 2.pi - (15.pi/450).t 
fb = 2.pi - (pi/30).t rad/s 

Igualando as equações, temos: 
fa = fb 
(pi/45).t = 2.pi - (pi/30).t 
pi.t.(1/45 + 1/30) = 2.pi 
t = 2/(1/45 + 1/30) 
t = 2/(2/90 + 3/90) = 2/(5/90) = 2.90/5 = 36 s