Question

Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10m³/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é 4m. Resp. 5m²/h, obrigada.

Answer 1

area da base do cone
$A= \pi*r^2$

como r = H
$A= \pi*H^2\\\\\boxed{\boxed{\frac{dA}{dt} = 2*\pi* H * \frac{dH}{dt} }} \to \text{equacao 1}$

Volume do cone
$\boxed{\boxed{V= \frac{\pi*r^2*H}{3} }}$

H= r

$V= \frac{\pi*H^2*H}{3} \\\\ V= \frac{\pi*H^3}{3} \\\\ \frac{dV}{dt} = \frac{\pi*3H^2}{3} * \frac{dH}{dt} \\\\ \boxed{\boxed{ \frac{dV}{dt} * \frac{1}{\pi H^2 } =\frac{dH}{dt} }}$

substituindo o valor de dH/dt na equação 1

$\frac{dA}{dt} = 2\pi*H *\frac{dV}{dt} * \frac{1}{\pi H^2 } \\\\ \boxed{\boxed{\frac{dA}{dt} = \frac{dV}{dt}* \frac{2}{H} }}$

foi dado que:
dV/dt = 10 m³/h
H = 4m

$\boxed{\boxed{\frac{dA}{dt} = 10* \frac{2}{4} =5 }}$

Answer 2

Taxas Relacionadas

Para resolver problemas de taxas relacionadas, adota-se o seguinte roteiro:

1) Identificar as variáveis.

2) Achar uma relação entre as variáveis

3)derivar em relação a variável de referência

4)substituir os valores conhecidos

5)isolar o que se deseja calcular

Dados:

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=10{m}^{3}/h}$

$\mathsf{r=h=4m}$

$\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=?}$

1) As variáveis são volume, área da base e altura.

2) a relação entre volume, área da base e altura é dado por

$\mathsf{v=\dfrac{1}{3}.\pi.{r}^{3}}$

3) derivando em relação ao tempo temos

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{1}{3}.3\pi{r}^{2}\dfrac{dr}{dr}}$

3)

Substituindo os valores temos

$\mathsf{10=\dfrac{1}{3}.3\pi.{4}^{2}\dfrac{dr}{dr}}\\\mathsf{16\pi \frac{dr}{dt} = 10 } \\\mathsf{ \frac{dr}{dt} = \frac{10}{16\pi} = \frac{5}{8\pi}</p><p>m/h }$

A relação entre área e raio é

$\mathsf{A=\pi.{r}^{2}}$

derivando em relação ao tempo temos

$\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=2\pi.r.\dfrac{dr}{dt}}$

Substituindo temos:

$\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=2\pi.4.\dfrac{5}{8\pi}}$

$\huge\boxed{\boxed{\maltese~~\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=5{m}^{2}/h}}}$