Question

Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da
base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3
/h, a que razão aumenta a área da base quando
a altura do monte é de 4 m?

Answer 1

$A_{base} = \pi r^2 (I) \\ \\ V= \frac{1}{3} \pi r^2.h (II) \\ \\ \frac{dV}{dt} =10 m^3/h \\ \\ h=r$

Assim,

$V= \frac{1}{3} \pi r^2.r= \frac{1}{3} \pi r^3 (III)$

Derivando (i) em relação ao t temos 

$\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} . \frac{dr}{dt} =2 \pi r \frac{dr}{dt}$

De (III) temos

$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} . \frac{dr}{dt} = \pi r^2 \frac{dr}{dt}$

Como 

$\frac{dVx}{dt} =10 \\ \\ 10= \pi r^2 \frac{dr}{dt} \\ \\ \frac{dr}{dt} = \frac{10}{ \pi r^2} \\ \\ \frac{dA}{dt} =2 \pi r \frac{10}{ \pi r^2} = \frac{20}{r}$

Quando r=h=4, temos 

$\frac{dA}{dt} = \frac{20}{4} =5$

A área da base cresce a uma taxa de 5 $m^{2} /h$

Answer 2

Taxas Relacionadas

Para resolver problemas de taxas relacionadas, adota-se o seguinte roteiro:

1) Identificar as variáveis.

2) Achar uma relação entre as variáveis

3)derivar em relação a variável de referência

4)substituir os valores conhecidos

5)isolar o que se deseja calcular

Dados:

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=10{m}^{3}/h}$

$\mathsf{r=h=4m}$

$\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=?}$

1) As variáveis são volume, área da base e altura.

2) a relação entre volume, área da base e altura é dado por

$\mathsf{v=\dfrac{1}{3}.\pi.{r}^{3}}$

3) derivando em relação ao tempo temos

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{1}{3}.3\pi{r}^{2}\dfrac{dr}{dr}}$

3)

Substituindo os valores temos

$\mathsf{10=\dfrac{1}{3}.3\pi.{4}^{2}\dfrac{dr}{dr}}\\\mathsf{16\pi \frac{dr}{dt} = 10 } \\\mathsf{ \frac{dr}{dt} = \frac{10}{16\pi} = \frac{5}{8\pi}</p><p>m/h }$

A relação entre área e raio é

$\mathsf{A=\pi.{r}^{2}}$

derivando em relação ao tempo temos

$\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=2\pi.r.\dfrac{dr}{dt}}$

Substituindo temos:

$\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=2\pi.4.\dfrac{5}{8\pi}}$

$\huge\boxed{\boxed{\maltese~~\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=5{m}^{2}/h}}}$