Question

Ache um vetor de comprimento 1 e que seja simultaneamente perpendicular aos vetores u = (1, 1, 0) e v = (2,-1, 3).

Answer 1

Seja w = (x,y,z) o vetor que queremos encontrar.

O comprimento de w é igual a 1, ou seja,

$||w|| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = 1$
$x^2+y^2+z^2=1$

Como w tem que ser perpendicular a u = (1,1,0) e v = (2,-1,3), então o produto interno tem que ser igual a 0, ou seja,

(1,1,0)(x,y,z) = 0
x + y = 0

(2,-1,3)(x,y,z) = 0
2x - y + 3z = 0

Como x = -y, então

-2y - y + 3z = 0
3z = 3y
z = y

Logo, 

$(-y)^2+y^2+y^2=1$
$3y^2 = 1$
$y^2 = \frac{1}{3}$
$y = \frac{1}{ \sqrt{3} }$ ou $y = - \frac{1}{ \sqrt{3} }$

Portanto, temos dois vetores:

$w=( -\frac{1}{ \sqrt{3} } , \frac{1}{ \sqrt{3} } , \frac{1}{\sqrt{3}} )$ ou $w=( \frac{1}{ \sqrt{3} } ,- \frac{1}{ \sqrt{3} } ,- \frac{1}{\sqrt{3}} )$