Question

Ache três números cuja soma é 100 e cuja soma dos quadrados é mínima (obs.: usar derivadas parciais)

Answer 1

Resposta:

Solução com a,b,c pertencente a N. Decomposição do 100 em fatores

primos:

100 = 2².5²

São (2+1).(2+1)=9 divisores

Tomando os de 3 em 3 para formar 100,

são 8 possibilidades: 100 = 1.1.(2².5²) = 1.2.(2.5²) = 1.2².5² = 1.(2².

5).5

100 = 1.(2.5).(2.5) = 2.2.5² = 2.(2.5).5 = 2².

5.5

Não existe outra terna que o produto dê

100.

Soma dos fatores de cada possibilidade:

1+1+100=102

1+2+50 = 53

1+4+25=30

1+5+20=26

1+10+10= 21

2+2+25=29

2+10+5=17

5+4+5=14

Por simples inspeção, percebe-se que os fatores 5, 4 e 5 são os que dão soma mínima.

Solução com a,b, e c pertencentes a R³+.

Explicação passo-a-passo:

Solução com a,b, e c pertencentes a R³+. Vamos dimunuir uma variável

a.b.c=100 implica c=100/(ab)

Portanto procuramos o mínimo da

função

f(a,b) = a+b+100/(ab), para (a,b)

pertencente a R²+.

delf/dela = 1-100/(a²b) delf/delb = 1-100/(ab²)

(delf/dea)²+(delf/delb)² = [1 - 100/(a²b)]²+[1

100/(ab²)]²

Para f mínimo ou máximo (ou ponto de

sela):

[1-100/(a²b)]²+[1-100/(ab²)]² = 0

ou

1 - 100/(a²b)=0 e 1- 100/(ab²)=0

a²b-100 e ab²=100

a²b-a(ab)=100 implica ab=100/a ab²=b(ab)=100 implica ab =100/b 100/a 100/b, logo a=b

Então f(a,b,c) = f(a) = 2a + 100/a²

Minimo de f: df/da = 0

2-200/a³-0

1-100/a³=0

a³=100

a=raizcubica(100)

b=a= raizcubica(100) c=100/(ab) = raizcubica(100) Os três números procurados são iguais à raiz cúbica de 100.

Espero ter ajudado