Question

Ache todos os valores de x satisfazendo a equação com radicais, Responda, qual a resposta que satisfaz a igualdade? 


- 8/9

8/9

8

-9

-8​

Answer 1

8

explicação:

temos uma proporçao ( igualdade de duas fraçoes) entao podemos multiplicar cruzado:

$5.(x + \sqrt{x + 1} ) = 11.(x - \sqrt{x + 1} )$

faz o chuveirinho ( multiplica o numero de fora por todos os de dentro dos parenteses ):

$5x + 5 \sqrt{x + 1} = 11x - 11 \sqrt{x + 1}$

passe numeros com letra para um lado e numeros sem letra pro outro.

$\small{5x - 11x + 5 \sqrt{x + 1} + 11 \sqrt{x + 1} = 0}$

junte termos semelhantes:

$- 6x + 16 \sqrt{x + 1} = 0$

....

agora passa aquele $+ 16 \sqrt{x + 1}$pro outro lado:

$- 6x = - 16 \sqrt{x + 1}$

como qualquer equaçao irracional ( que possua raiz quadrada) devemos elevar os dois lados ao quadrado para conseguir eliminar a tal raiz.

${( - 6x)}^{2} = {( - 16 \sqrt{x + 1} })^{2}$

resolvendo estas potencias:

${( - 6)}^{2} . {x}^{2} = {( - 16)}^{2} . {( \sqrt{x + 1} })^{2}$

$36 {x}^{2} = 256.( \sqrt{x + 1} )^{2}$

lembre que ali tem uma raiz quadrado ao quadrado e pela regra podemos cortar tudo e sobra só a parte de dentro da raiz

$36 {x}^{2} = 256.(x + 1)$

faz esta distributiva( multiplica o de fora por todos os de dentro ):

$36 {x}^{2} = 256x + 256$

organiza pra fazer uma bhakasra:

$36 {x}^{2} - 256x - 256 = 0$

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = ( - 256)² - 4 . 36 . (-256)

Δ = 65536 + 36864

Δ = 102400

$x = \frac{ - b \: ± \: \sqrt{ Δ}}{2 \: . \: a}$

$x = \frac{ - ( - 256) \: ± \: \sqrt{ 102400}}{2 \: . \: 36}$

$x = \frac{ 256 \: ± \: 320}{72}$

$x 1= \frac{ 256 \: + \: 320}{72} = 8$

$x2 = \frac{256 - 320}{72} = \frac{ - 64}{72} = - \frac{ 8}{9}$

TEMOS QUE COMPROVAR QUE ESTAS SAO RESPOSTAS PORQUE É UMA EQUAÇAO IRRACIONAL...

pegue o original e substitua os dois valores cada um em sua vez:

com o x = 8

$\frac{x + \sqrt{x + 1} }{x - \sqrt{x + 1} } = \frac{11}{5}$

$\frac{8 + \sqrt{8 + 1} }{8 - \sqrt{8 + 1} } = \frac{11}{5}$

$\frac{8 + \sqrt{9} }{8 - \sqrt{9} } = \frac{11}{5}$

$\frac{8 + 3}{8 - 3} = \frac{11}{5}$

$\frac{11}{5} = \frac{11}{5}$

veja que deu o mesmo numero dos dois lados da equaçao entao isso comprova que 8 é sim uma das respostas.

vamos ver a outra que achamos:

x = - 8/9

$\frac{x + \sqrt{x + 1} }{x - \sqrt{x + 1} } = \frac{11}{5}$

$\frac{ - \frac{8}{9} + \sqrt{ - \frac{8}{9} + 1 } }{ - \frac{8}{9} - \sqrt{ - \frac{8}{9} + 1 } } = \frac{11}{5}$

$\frac{ - \frac{8}{9} + \sqrt{ \frac{1}{9} } }{ - \frac{8}{9} - \sqrt{ \frac{1}{9} } } = \frac{11}{5}$

$\frac{ - \frac{8}{9} + \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{9} } }{ - \frac{8}{9} - \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{9} } } = \frac{11}{5}$

$\frac{ - \frac{8}{9} + \frac{1}{3} }{ - \frac{8}{9} - \frac{1}{3} } = \frac{11}{5}$

$\frac{ - \frac{5}{9} }{ - \frac{11}{9} } = \frac{11}{5}$

fazendo esta divisao de fracoes:

$- \frac{5}{9} \: . \: - \frac{9}{11} = \frac{11}{5}$

$\frac{45}{99} = \frac{11}{5}$

simplificando por 9 esta fraçao:

$\frac{5}{11} = \frac{11}{5}$

viu? nao deu certo... ficou numeros diferentes no fim. entao esse x = - 8/9 nao vai ser uma das respostas.

A UNICA RESPOSTA QUE DEU CERTO QUE ACHAMOS FOI X = 8