Question

Ache todos os valores de X,no intervalo [0;2 pi],para os quais sen x cos x =
$\sqrt{2 + \sqrt{3 \: sobre \: 2} }$

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Answer 1

Resposta:

x = 30, x=60

Explicação passo-a-passo:

Quando vc elevar tudo ao quadrado então vai ficar:

sen²x + 2senx.cosx+cos²x = (2+V3)/2

1 + 2senx.cosx = (2+V3)/2

1 + sen2x = (2+V3)/2

sen2x = (2+V3)/2 - 1

sen2x =[2+V3 - 2]/2

sen2x =V3/2

sen2x = sen60

2x = 60 +360k

x = 30+180k

para k = 0, tem x = 30

sen2x = sen120

2x = 120+360k

x = 60+180k

para k = 0, tem-se x = 60

Answer 2

Resposta: x = $\frac{\pi}{6}$  ou  x = $\frac{\pi}{3}$  ⇒

S = {$\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{3}$}

Explicação passo-a-passo:

$sen(x)+cos(x)=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2}$  ⇒

$sen(x)+cos(x)=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$  ⇒

$sen(x)+cos(x)= \frac{\sqrt{(1+\sqrt{3}})^2}{2}$  ⇒

$sen(x)+cos(x)= \frac{1+\sqrt{3}}{2}$  ⇒

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}sen(x)+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}cos(x)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$  ⇒

$\sqrt{2}[\frac{1}{\sqrt{2}}sen(x)+\frac{1}{\sqrt{2}}cos(x)]=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$  ⇒

$\sqrt{2}[cos(x)cos(\frac{\pi}{4})+sen(x)sen(\frac{\pi}{4})]=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$  ⇒

$\sqrt{2}cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$  ⇒

$cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$  ⇒

$cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$  ⇒

$cos(x-\frac{\pi}{4})= \frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$  ⇒

$cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}$  ⇒

$cos(x-\frac{\pi}{4})=cos(\frac{\pi}{4})cos(\frac{\pi}{6})+sen(\frac{\pi}{4})sen(\frac{\pi}{6})$  ⇒

$cos(x-\frac{\pi}{4})= cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6})$  ⇒

$cos(x-\frac{\pi}{4})=cos(\frac{\pi}{12})$  ⇒

$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}+2k\pi,\ k\ inteiro\ \ e\ \ 0 \leq x\leq 2\pi$  ⇒  $x=\frac{\pi}{3}$

ou

$x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{12}+2k\pi,\ k\ inteiro\ \ e\ \ 0\leq x\leq 2\pi$  ⇒  $x=\frac{\pi}{6}$

Logo:

S = {$\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{3}$}

Abraços!