Ache, POR INTEGRAÇÃO, a área do trapézio tendo vértices A(-1,-1), B(2,2), C(6,2) e D(7,-1).
Sei que através de Geometria Analítica/Álgebra Linear esse cálculo também é possível, mas como seria por integral definida?
Soluções para a tarefa
Devemos inicialmente definir as equações das 4 retas que delimitam a figura. Vamos representar as retas horizontais pelas funções e . Temos também duas retas oblíquas, uma que passa por (-1, -1) e (2, 2) e outra que passa por (6, 2) e (7, -1).
Começando pela que passa por (-1, -1) e (2, 2), sendo ela uma função , temos que:
Por fim, vamos à reta que passa por (6, 2) e (7, -1):
Podemos agora passar para o cálculo integral. Podemos dividir o trapézio em dois triângulos e um retângulo. O 1º triângulo é limitado superiormente por e inferiormente por . Os limites de integração são os pontos em que intercepta as retas horizontais. No caso de , este ponto é tal que:
Em , este valor é:
Com isso concluímos que a área em questão é dada por:
No caso do retângulo, ele é limitado pelas retas horizontais. O limite de integração inferior é 2 enquanto o superior é o ponto de interseção entre e , sendo este valor dado por:
Daí tiramos que a área do quadrado é dada por:
Por fim, temos a área do 2º triângulo, limitado superiormente por e inferiormente por . O limite de integração inferior é 6 enquanto o superior é o ponto de interseção entre e , sendo este valor dado por:
Daí tiramos que a área do 2º triângulo é dada por:
Basta agora somarmos as 3 áreas: