Matemática, perguntado por Nefertitii, 7 meses atrás

Ache, POR INTEGRAÇÃO, a área do trapézio tendo vértices A(-1,-1), B(2,2), C(6,2) e D(7,-1).

Sei que através de Geometria Analítica/Álgebra Linear esse cálculo também é possível, mas como seria por integral definida?​

Soluções para a tarefa

Respondido por Zecol
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Devemos inicialmente definir as equações das 4 retas que delimitam a figura. Vamos representar as retas horizontais pelas funções f(x)=-1 e g(x)=2. Temos também duas retas oblíquas, uma que passa por (-1, -1) e (2, 2) e outra que passa por (6, 2) e (7, -1).

Começando pela que passa por (-1, -1) e (2, 2), sendo ela uma função h(x), temos que:

\frac{2-(-1)}{2-(-1)}=\frac{h(x)-(-1)}{x-(-1)}

h(x)+1=x+1

h(x)=x

Por fim, vamos à reta j(x) que passa por (6, 2) e (7, -1):

\frac{2-(-1)}{6-7}=\frac{j(x)-(-1)}{x-7}

-3=\frac{j(x)+1}{x-7}

j(x)+1=-3(x-7)

j(x)=-3x+20

Podemos agora passar para o cálculo integral. Podemos dividir o trapézio em dois triângulos e um retângulo. O 1º triângulo é limitado superiormente por h(x) e inferiormente por f(x). Os limites de integração são os pontos em que h(x) intercepta as retas horizontais. No caso de f(x), este ponto é tal que:

h(x)=f(x)

x=-1

Em g(x), este valor é:

h(x)=g(x)

x=2

Com isso concluímos que a área em questão é dada por:

A_1=\int_{-1}^2h(x)-f(x)\;dx

No caso do retângulo, ele é limitado pelas retas horizontais. O limite de integração inferior é 2 enquanto o superior é o ponto de interseção entre g(x) e j(x), sendo este valor dado por:

j(x)=g(x)

-3x+20=2

-3x=-18

x=\frac{-18}{-3}=6

Daí tiramos que a área do quadrado é dada por:

A_2=\int_2^6g(x)-f(x)\;dx

Por fim, temos a área do 2º triângulo, limitado superiormente por j(x) e inferiormente por f(x). O limite de integração inferior é 6 enquanto o superior é o ponto de interseção entre j(x) e f(x), sendo este valor dado por:

j(x)=f(x)

-3x+20=-1

-3x=-21

x=\frac{-21}{-3}=7

Daí tiramos que a área do 2º triângulo é dada por:

A_3=\int_6^7j(x)-f(x)\;dx

Basta agora somarmos as 3 áreas:

A=A_1+A_2+A_3

A=\int_{-1}^2x-(-1)\;dx+\int_2^62-(-1)\;dx+\int_6^7-3x+20-(-1)\;dx

A=\int_{-1}^2x+1\;dx+\int_2^63\;dx+\int_6^7-3x+21\;dx

A=\left[\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^2+\left[3x\right]_2^6+\left[-\frac{3x^2}{2}+21x\right]_6^7

A=\frac{9}{2}+12+\frac{3}{2}

A=18\;u.a

Anexos:

Nefertitii: Arrasou
Nefertitii: Eu tinha pensado em montar as equações, mas achei que ia dar errado e nem tentei
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