Question

Ache os vértices de um ∆ABC, sendo os pontos médios dos lados, os pontos M (3, 5), N (1, 4) e P (2, 3). Em seguida, ache o Baricentro desse triângulo.

Answer 1

( Veja a imagem que coloquei junto à resolução )

M é ponto médio do lado AB.

N é ponto médio do lado BC.

P é ponto médio do lado AC.

Assim, pela fórmula do ponto médio, temos

Em M

$\frac{ x_{a} + x_{b}}{2} = 3 \rightarrow x_{a} + x_{b} = 6$

$\frac{ y_{a} + y_{b}}{2} = 5\rightarrow y_{a} + y_{b} = 10$

Em N:

$\frac{ x_{b} + x_{b}}{c} = 1\rightarrow x_{b} + x_{c} = 2$

$\frac{ y_{b} + y_{c}}{2} = 4\rightarrow y_{b} + y_{c} = 8$

Em P:

$\frac{ x_{a} + x_{c}}{2} = 2\rightarrow x_{a} + x_{c} = 4$

$\frac{ y_{a} + y_{c}}{2} = 3\rightarrow y_{a} + y_{c} = 6$

Agora, montamos dois sistemas com as equações encontradas.

$1)\begin{cases} x_{a} + x_{b} = 6 \\ x_{b} + x_{c} = 2 \\ x_{a} + x_{c} = 4 \end{cases}$

$2)\begin{cases} y_{a} + y_{b} = 10 \\ y_{b} + y_{c} = 8 \\ y_{a} + y_{c} = 6 \end{cases}$

Resolvendo o primeiro sistema:

Isolando xa e xb na segunda e terceira equação e substituindo na primeira, temos

Isolando xb: $\\\\x_{b} + x_{c} = 2 \\ \\ x_{b} = 2 - x_{c}$

Isolando xa: $\\\\x_{a} + x_{c} = 4 \\ \\ x_{a} = 4 - x_{c}$

Substituindo: $\\\\x_{a} + x_{b} = 6 \\ \\ 4 - x_{c} + 2 - x_{c} = 6 \\ \\ x_{c} = 0$

Assim,

$x_{a} = 4$

e

$x_{b} = 2$

Resolvendo o segundo sistema da mesma forma:

Isolando ya e yb na segunda e terceira equação e substituindo na primeira, temos

Isolando yb: $\\\\y_{b} + y_{c} = 8 \\ \\ y_{b} = 8 - y_{c}$

Isolando ya: $\\\\y_{a} + y_{c} = 6 \\ \\ y_{a} = 6 - y_{c}$

Substituindo: $\\\\y_{a} + y_{b} = 10 \\ \\ 6 - y_{c} + 8 - y_{c} = 10\\ \\ y_{c} = 2$

Assim,

$y_{a} = 6 - 2 = 4$

e

$y_{b} = 8 - 2= 6$

Dessa forma, temos A(4,4), B(2,6) e C(0,2)

O baricentro será o ponto G, tal que

$x_{g} = \frac{x_{a} +x_{b} +x_{c} }{3} = \frac{4 + 2 + 0}{3} = 2$

$y_{g} = \frac{y_{a} +y_{b} +y_{c} }{3} = \frac{4 + 6 + 2}{3} = 4$

O baricentro é, portanto, G(2,4)