Question

Ache os valores reais de x de modo que a parte real do número complexo = x-i/x+i seja negativa.

Answer 1

Com o estudo sobre números complexos temos como resposta $S=\left\{x\in \mathbb{R};-1 < x < 1\right\}$

O conjunto dos números complexos

O surgimento dos números complexos levou a uma ampliação dos conjuntos numéricos. Com isso, criou-se o conjunto dos números complexos, representado por $\mathbb{C}$, cuja definição é dada por

• $\mathbb{C}=\left\{z;\:z=a+bi,\:com\:a\:e\:b\:\in \mathbb{R}\:e\:i^2=-1\right\}$

Podemos perceber que todo número real pode ser representado por um número complexo. Um número real x, por exemplo, pode ser representado por $x+0i\:\in \:\mathbb{C}$. Assim, conclui-se que todo número real é complexo, mas nem todo número complexo é real, ou seja

• $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$

A forma algébrica de um número complexo

Todo número complexo pode ser escrito na forma $z=a+bi$, sendo a e b números reais e i a unidade imaginária. O coeficiente a representa a parte real do número complexo z, expresso como Re(z); o coeficiente b representa a parte imaginária do número complexo z, expresso como Im(z).

Quando, em um número complexo, sua parte real for nula, trata-se de um número imaginário puro. Quando sua parte imaginária for nula, dizemos que é um número real.

Exemplos

z = 3 + 2i é um número complexo em que  

$\begin{cases}Re\left(z\right)=3&\\ Im\left(z\right)=2&\end{cases}$

Conjugado de um número complexo

Dado um número complexo z = a + bi, diz-se que seu conjugado, cuja notação é $\overline{z}$, é o número complexo $\overline{z}=a-bi$, ou seja, para obter o conjugado de z, basta inverter o sinal da parte imaginária de z.

Sendo assim podemos resolver o exercício

• $z=\frac{x-i}{x+i}\rightarrow z=\frac{x-i}{x+i}\cdot \frac{x-i}{x+i}\rightarrow z=\frac{x^2-2xi+i^2}{x^2-i^2}$

• $z=\frac{x^2-2xi-1}{x^2+1}\rightarrow z=\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)-\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)i$

• $\mathbb{R}\left(z\right) < 0\rightarrow \left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right) < 0\rightarrow \left(x+1\right)\left(x-1\right) < 0$

• $\begin{cases}x > menor\:raiz\:\rightarrow x > -1&\\ x < \:maior\:raiz\:\rightarrow x\: < 1&\end{cases}$

• $S=\left\{x\in \mathbb{R};-1 < x < 1\right\}$

Saiba mais sobre números complexos: https://brainly.com.br/tarefa/51300378

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