Question

Ache os valores reais de p para os quais a função
f(x) = (p – 1) x2 + (2p – 2) x + p + 1 é sempre positiva, qualquer que seja x.

Answer 1

Resposta: $p$ deve ser maior que $1$.

Explicação passo-a-passo: Perceba que a função $f(x)$ é uma função do segundo grau, visto que $f(x) = (p - 1) x^2 + (2p - 2) x + p + 1$.

Para que uma função do segundo grau seja sempre positiva, o valor de delta deve ser obrigatoriamente negativo, pois se delta é negativo, a função não possui raízes reais, o que significa que o gráfico da função está sempre acima do eixo x, ou seja, sempre positivo.

Como na função acima, $a = (p-1)$, $b = (2p - 2)$, $c = (p+1)$, podemos substituir na fórmula do delta de Bháskara.

$\Delta = b^2 - 4ac \\\\0 > (2p-2)^2 - 4(p-1)(p+1)$

Como $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ e $(a + b)(a-b) = a^2 - b^2$ segundo a definição de produtos notáveis, então:

$0 > (2p-2)^2 - 4(p-1)(p+1) \\\\0 > (2p)^2 - 2 \cdot 2p \cdot 2 + 2^2 - 4(p^2 - 1^2) \\\\0 > 4p^2 - 8p + 4 - 4p^2 + 4 \\\\0 > -8p + 4 + 4 \\\\8p > 8 \\\\p > 1$