ache os pares de numeros a>0 e b >0 tais que mdc(a,b)=4 e mmc(a,b)=1680
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
A . B = MDC(A,B) . MMC(A,B)
A . B = 4.1680
A . B = 6720
==//==
A/4 = K. Logo A = 4k
B/4 = J. Logo B = 4J
K e J são primos entre si.
4K . 4J = 6720
16KJ = 6720
K.J = 420
==//==
1 e 420, não serve porque são primos entre si.
2 e 210, não serve porque são primos entre si.
3 e 140, serve porque não são primos entre si.
4 e 55, serve porque não são primos entre si.
5 e 84, serve porque não são primos entre si.
6 e 70, não serve porque não são primos entre si.
7 e 60, não serve porque não são primos entre si.
10 e 42, não serve porque não são primos entre si.
14 e 30, não serve porque não são primos entre si.
15 e 28, serve porque não são primos entre si.
20 e 21, serve porque não são primos entre si.
Resposta:
Os números são {a, b}:
{4, 1680} e {1680,4}
{12, 560}, {560,12}
{16, 420}, {420,16}
{20, 336}, {336, 20}
{28, 240}, {240,28}
{48, 140}, {140, 48}
{60, 112}, {112, 60}
{80, 84}, {84, 80}
Explicação passo-a-passo:
Propriedade:
mdc(a,b) . mmc(a,b) = |ab|
mdc(a,b) =4
mmc(a,b) = 1680
|ab|=4.1680=6720
Seja:
m=a/4 => a=4m
n=b/4 => b=4n
Seja: k=mdc(a,b) = 4, a = k.a₁ e b = k.b₁
Então
ab = k².a₁.b₁
a₁.b₁ = ab / k²=6720/4²=420
onde
Para a₁ =1: => 1.b₁=420 => b₁= 420
a = k.a₁ =4.1=4
b = k.b₁ =4.420=1680
Para a₁ =2: => 2.b₁=420 => b₁= 210
Não servem: 2 e 210 são primos entre si
Para a₁ =3: => 3.b₁=420 => b₁= 140
a = k.a₁ =4.3=12
b = k.b₁ =4.140=560
Para a₁ =4: => 4.b₁=420 => b₁= 105
a = k.a₁ =4.4=16
b = k.b₁ =4.105=420
Para a₁ =5: => 5.b₁=420 => b₁= 84
a = k.a₁ =4.5=20
b = k.b₁ =4.84=336
Para a₁ =6: => 6.b₁=420 => b₁= 70
Não servem: 6 e 70 são primos entre si
Para a₁ =7: => 7.b₁=420 => b₁= 60
a = k.a₁ =4.7=28
b = k.b₁ =4.60=240
Para a₁ =8: => 8.b₁=420 => b₁= 52,5
Não servem: b₁ não é inteiro
Para a₁ =9: => 9.b₁=420 => b₁= 46,6...
Não servem: b₁ não é inteiro
Para a₁ =10: => 10.b₁=420 => b₁= 42
Não servem: 10 e 42 são primos entre si
Para a₁ =11: => 11.b₁=420 => b₁=38,188...
Não servem: b₁ não é inteiro
Para a₁ =12: => 12.b₁=420 => b₁= 35
a = k.a₁ =4.12=48
b = k.b₁ =4.35=140
Para a₁ =13: => 13.b₁=420 => b₁= 32,30...
Não servem: b₁ não é inteiro
Para a₁ =14: => 14.b₁=420 => b₁= 30
Não servem: 14 e 30 são primos entre si
Para a₁ =15: => 15.b₁=420 => b₁= 28
a = k.a₁ =4.15=60
b = k.b₁ =4.28=112
Para a₁ =16: => 16.b₁=420 => b₁= 26,25
Não servem: b₁ não é inteiro
Para a₁ =17: => 17.b₁=420 => b₁= 24,7...
Não servem: b₁ não é inteiro
Para a₁ =18: => 18.b₁=420 => b₁= 23,33..
Não servem: b₁ não é inteiro
Para a₁ =19: => 19.b₁=420 => b₁= 22,10...
Não servem: b₁ não é inteiro
Para a₁ =20: => 20.b₁=420 => b₁= 21
a = k.a₁ =4.20=80
b = k.b₁ =4.21=84
Daqui em diante a ordem se inverte. então não é necessário calcular.
Para a₁ =21: => 21.b₁=420 => b₁= 20
a = k.a₁ =4.21=84
b = k.b₁ =4.20=80