Question

ache os números criticos da função f(x)= sec(x²+1)=

Answer 1

$f(x)=\sec(x^{2}+1)$


Os pontos críticos são os pontos onde a derivada é nula:

$f'(x)=0\\ \\ \left[\sec(x^{2}+1) \right ]'=0\\ \\ \sec(x^{2}+1)\cdot \mathrm{tg}(x^{2}+1)\cdot (x^{2}+1)'=0\\ \\ \sec(x^{2}+1)\cdot \mathrm{tg}(x^{2}+1)\cdot 2x=0\\ \\ \begin{array}{rcccl} \sec(x^{2}+1)=0&\text{ ou }&\mathrm{tg}(x^{2}+1)=0&\text{ ou }&2x=0 \end{array}$


Resolvendo separadamente cada uma das três equações acima:

$\bullet\;\;\sec(x^{2}+1)=0$

Para todo $\alpha$ real, temos que

$\sec(\alpha)\geq 1\;\;\text{ ou }\;\;\sec(\alpha)\leq -1$


Logo, não existe valor real de $x,$ tal que

$\sec(x^{2}+1)=0$


$\bullet\;\;\mathrm{tg}(x^{2}+1)=0\\ \\ x^{2}+1=0+k\cdot \pi\\ \\ x^{2}=k\pi-1\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=-\sqrt{k\pi-1}&\;\text{ ou }\;&x=\sqrt{k\pi-1} \end{array}}\;\;\;\;\left(k \in \mathbb{Z}\;\text{ e }\;k\geq 1\right)$


$\bullet\;\;2x=0\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}x=0 \end{array}}$