Question

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:


A) T: R² ➡ R²; T(x,y) = (x+y, 2x+y)



B)T: R³ ➡ R³; T(x,y,z) = (3c-4z, 3y+5z, -z)



Obs.: Se possível detalhar a resolução

Answer 1

a) T(x,y) = (x + y, 2x + y)

Primeiramente, vamos achar os autovalores.

Para isso, considere que: T(x,y) = λ(x,y), ou seja,

(x + y, 2x + y) = (λx,λy)

Assim, obtemos o sistema:

{x(1 - λ) + y = 0

{2x + y(1 - λ) = 0

Agora, temos que calcular o seguinte determinante:

|1 - λ   1|

|2  1 - λ|

Então, encontramos dois autovalores: λ' = 1 - √2 e λ'' = 1 + √2.

Quando λ = 1 - √2, então:

{√2x + y = 0

{2x - √2y = 0

ou seja, os autovetores são da forma y(-√2/2,1).

Quando λ = 1 + √2, então:

{-√2x + y = 0

{2x - √2y = 0

Então, os autovetores são da forma y(√2/2,1).

b) T(x,y,z) = (3x - 4z, 3y + 5z, -z)

Da mesma forma, temos que:

(3x - 4z, 3y + 5z, -z) = (λx, λy, λz)

ou seja,

{x(3 - λ) - 4z = 0

{y(3 - λ) + 5z = 0

{-z(λ + 1) = 0

Então, vamos calcular o seguinte determinante:

|3 - λ   0   -4|

|0     3 - λ   5|

|0      0     -λ-1|

Daí, encontramos -(λ-3)²(λ+1), ou seja, os autovalores são λ' = 3 e λ'' = -1.

Quando λ = 3, temos que:

{-4z = 0

{5z = 0

{-4z = 0

ou seja, os autovetores são da forma (x,y,0).

Quando λ = -1, temos que:

{4x - 4z = 0

{4y + 5z = 0

ou seja, os autovetores são da forma (z,-5/4,z).