Question

ache o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x+y=1 E z=x​

Answer 1

Realizando a integral dupla da região descrita, temos que seu volume é de 1/3.

Explicação passo-a-passo:

Para encontrar este volume, temos que integrar a função z=x, dentro da área delimitada por x²+y²=1, dentro do primeirou quadrante, ou seja:

$V=\int\limits^{1}_{0}\int\limits^{\sqrt{1-y^2}}_{0} xdxdy$

Mas para ficar mais facil, vamos passar esta integral para coordenadas polares, onde:

$x=r.cos(\theta)$

$y=r.sen(\theta)$

Então nossa integral fica:

$V=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}\int\limits^{1}_{0} x.r.dr.d\theta$

$V=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}\int\limits^{1}_{0} (r.cos(\theta)).r.dr.d\theta$

$V=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}\int\limits^{1}_{0} r^2.cos(\theta).dr.d\theta$

$V=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}[cos(\theta)]\frac{r^3}{3}]\limits^{1}_{0}.d\theta$

$V=\frac{1}{3}\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}[cos(\theta)].d\theta$

$V=\frac{1}{3}[sen(\theta)]\limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}$

$V=\frac{1}{3}[sen(\frac{\pi}{2})]$

$V=\frac{1}{3}$

Então realizando a integral dupla da região descrita, temos que seu volume é de 1/3.