ache o volume do solido gerado pela rotação em torno da reta x = - 4 da região limitada pelas parabolas x=y-y^2 e x=y^2-3
Anexos:
Soluções para a tarefa
Respondido por
4
Olá.
Este exercício é um pouco trabalhoso e exige alguns detalhes sutis. Tentarei fazer do modo mais claro possível.
Usaremos os seguintes ingredientes :)
Integral de funções polinomiais;
Produto notável:
Cálculo do volume por cascas.
=========
Para o volume, veja que se rodarmos uma das funções em torno do eixo dado, teremos um círculo de raio r = (x + 4), para qualquer valor de x. Esse círculo possui área πr²;
Agora veja que se subtrairmos da área do círculo maior(quando rodamos F(y)) a área do círculo menor(quando rodamos G(y)), teremos a área sob as curvas.
Agora vem a parte interessante. Se multiplicarmos a área de cada coroa circular por um altura minúscula em y(dy), obteremos um volume minúsculo para um dado intervalo. Porém, se somarmos todos esses volumes de y = -1 até y = 3/2 (os valores de y nas interseções), teremos o volume total do corpo.
Ora! Se estamos falando de uma soma de várias partes minúsculas, tratamos de uma integral!
Assim, a integral pedida é a da área das coroas multiplicada por dy, de -1 a 3/2. Veja que para cada uma delas, o raio será um valor x, mas como queremos integrar com dy, faremos a substituição dos valores x pelos de suas respectivas funções.
Chega de texto, vamos aos cálculos :)
Até aqui eu apenas fiz os cálculos e apliquei o produto notável. Veja que fiz antes y² - 3 + 4 = y² + 1 e apliquei o quadrado da soma. O 'Pi' surge da fórmula da área da circunferência e o dy, como disse, é a altura de cada coroa.
Se simplificarmos essa expressão, obteremos:
Dúvidas? Comente!
Este exercício é um pouco trabalhoso e exige alguns detalhes sutis. Tentarei fazer do modo mais claro possível.
Usaremos os seguintes ingredientes :)
Integral de funções polinomiais;
Produto notável:
Cálculo do volume por cascas.
=========
Para o volume, veja que se rodarmos uma das funções em torno do eixo dado, teremos um círculo de raio r = (x + 4), para qualquer valor de x. Esse círculo possui área πr²;
Agora veja que se subtrairmos da área do círculo maior(quando rodamos F(y)) a área do círculo menor(quando rodamos G(y)), teremos a área sob as curvas.
Agora vem a parte interessante. Se multiplicarmos a área de cada coroa circular por um altura minúscula em y(dy), obteremos um volume minúsculo para um dado intervalo. Porém, se somarmos todos esses volumes de y = -1 até y = 3/2 (os valores de y nas interseções), teremos o volume total do corpo.
Ora! Se estamos falando de uma soma de várias partes minúsculas, tratamos de uma integral!
Assim, a integral pedida é a da área das coroas multiplicada por dy, de -1 a 3/2. Veja que para cada uma delas, o raio será um valor x, mas como queremos integrar com dy, faremos a substituição dos valores x pelos de suas respectivas funções.
Chega de texto, vamos aos cálculos :)
Até aqui eu apenas fiz os cálculos e apliquei o produto notável. Veja que fiz antes y² - 3 + 4 = y² + 1 e apliquei o quadrado da soma. O 'Pi' surge da fórmula da área da circunferência e o dy, como disse, é a altura de cada coroa.
Se simplificarmos essa expressão, obteremos:
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amandabastos18:
Muitíssimoooooooo obrigada.
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