Question

ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada da curva y= x³, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2 é rotacionada em torno do eixo x

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos determinar o volume de um sólido de revolução gerado pela rotação da região compreendida entre a curva $y=x^3$ e o eixo $x$ e pelas retas verticais $x=1$ e $x=2$ em torno do eixo $x$.

Primeiro, lembre-se que o volume $V$ de um sólido de revolução gerado pela rotação de uma região compreendida entre uma curva $f(x)$ no intervalo fechado $[a,~b]$, no qual esta curva é contínua e integrável, e o eixo $x$ é calculado pela integral: $V=\pi\cdot\displaystyle{\int_a^b(f(x))^2\,dx$.

Observe que as retas verticais $x=1$ e $x=2$ determinam o intervalo no qual esta região está compreendida: $[1,~2]$.

Dessa forma, o volume deste sólido será calculado pela integral:

$V=\pi\cdot\displaystyle{\int_1^2(x^3)^2\,dx}$

Calcule a potência, aplicando a propriedade: $(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

$V=\pi\cdot\displaystyle{\int_1^2x^6\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função $g(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[c,~d]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_c^d g(x)\,dx=G(x)~\biggr|_c^d=G(d)-G(c)$, em que $G(x)$ é a antiderivada de $g(x)$.

Aplique a regra da potência

$V=\pi\cdot\dfrac{x^{6+1}}{6+1}~\biggr|_1^2$

Some os valores no expoente e denominador

$V=\pi\cdot\dfrac{x^7}{7}~\biggr|_1^2$

Aplique os limites de integração

$V=\pi\cdot\left(\dfrac{2^7}{7}-\dfrac{1^7}{7}\right)$

Calcule as potências, some e multiplique os valores

$V=\pi\cdot\left(\dfrac{128}{7}-\dfrac{1}{7}\right)\\\\\\ V=\pi\cdot \dfrac{128-1}{7}\\\\\\ V=\dfrac{127\pi}{7}~\bold{u.~v}~~\checkmark$

Este é o volume do sólido gerado pela rotação desta região.