Question

Ache o valor máximo e o valor mínimo absolutos da função f(x) = x^3 + 3x^2 −9x no intervalo [–3 , 0]

Answer 1

O primeiro passo é derivar essa função para podermos trabalhar com os graus de inclinação (tangentes) relativos aos pontos de intervalo.

Derivando a função:
f(x) = x³ + 3x² - 9x
f'(x) = 3x² + 6x - 9

Agora, precisamos descobrir em quais pontos nos eixos do cartesiano essa parábola fará intersecção. 

Soma = -b/a = -6/3 = -2
Produto = c/a = -9/3 = -3

Dessa forma, sabemos que a função f'(x) intersepta a abscissa em dois pontos, ( -2 e -3 ). Agora, imagine a linha da abscissa com esses dois pontos marcados.
----------------------------( -3 )----------( -2 )----------------------
Para descobrir o grau de inclinação da reta tangente de um ponto x, basta atribuir um valor para x e substituir na função derivada.
Entre -2 e -3, temos x = -2,5 ou x = -5/2

Podemos descobrir, por exemplo, se a reta tangente no ponto -5/2 tem inclinação positiva ou negativa ou nula. Se for positiva, naquele ponto a função é crescente. Se for negativa, decrescente. E se for nula, aquele é um ponto crítico de máximo ou de mínimo relativo.
Ponto de máximo ou de mínimo absoluto, é o ponto mais alto ou mais baixo daquela função dentro de um determinado intervalo.

Queremos saber os pontos críticos e de inflexão nessa função, no intervalo de x = -3 até x = 0. Vamos lá!

Para x = - 3
f'(-3) = 3x² + 6x - 9 = 3(-3)² + 6(-3) - 9 = 3.9-18-9 = 0
Se a tangente é igual a zero, quer dizer que não temos grau de inclinação, ou seja, esse é um ponto crítico!

Para x = -5/2
f'(-5/2) = 3(-5/2)² + 6(-5/2) - 9 = 3(25/4) - (30/2) - 9 = (75/4) - 15 - 9 = - 5,25.
Se a tangente tem grau de inclinação negativo, quer dizer que nesse ponto a função apresenta ser decrescente.
Se para x = -3 a função era um ponto crítico, e agora ela passou a ser decrescente, em -3 temos um ponto de máximo relativo!
Se quiser ter certeza, escolha um ponto em x que seja menor que -3. Se escolher -4, por exemplo, seu grau de inclinação será igual a 15, ou seja, positivo e crescente.

Para x = -2
f'(-2) = 3x² + 6x - 9 = 3(-2)² + 6(-2) -9 = 3(4) -12 - 9 = -9
Se o grau de inclinação desse reta tangente é negativo, até aqui a função continua decrescente!

Agora, precisamos de um valor qualquer que seja maior que -2 para avaliar o comportamento dessa função. Como o intervalo que o exercício quer está entre -3 e zero, usaremos o ponto x=0.

Para x=0
f'(0) = 3x² + 6x - 9 = 3(0) + 6(0) - 9 = -9
Aqui a função continua sendo decrescente.

Se em x igual a -3 temos o ponto mais alto no intervalo solicitado, esse ponto recebe o nome de máximo absoluto.
Se em x igual a zero temos o ponto mais baixo do intervalo solicitado, esse ponto recebe o nome de mínimo absoluto.

Espero ter ajudado! Bons estudos ;)