Question

Ache o valor de "X" na seguinte equaçao exponencial:
$\dfrac{2^{2X} +2^{6} }{5}=2^{X+2}$
​

Answer 1

Solução X pode ser tanto 4 como 2

S={4, 2}

• Mas, como chegamos a essa conclusão ?

Temos   uma questão de equação exponencial , para resolve-la temos que lembrar de algumas propriedades da potencia

Propriedades

$X^{A}\times X^{B} =X^{A+B}$

$(X^{A})^{B} \Rightarrow X^{A\times B }$

$\dfrac{-B\pm\sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C} }{2A}$

Vamos a questão

$\dfrac{{2^{2X}+2^{6} } }{5} }=2^{X+2}$

passamos o 5 que esta dividindo no denominador  multiplicando

${{2^{2X}+2^{6} } } }=2^{X+2}\times 5$

Aplicamos  a seguinte propriedades  $(X^{A})^{B} \Rightarrow X^{A\times B }$

${{2^{2X}+2^{6} } } }=2^{X+2}\times 5 \Rightarrow \boxed{{{(2^{X})^2+2^{6} } }=2^{X+2}\times 5}$

agora aplicamos a seguinte propriedade  $X^{A}\times X^{B} =X^{A+B}$

${{(2^{X})^2+2^{6} } }=2^{X+2}\times 5\Rightarrow \boxed{{{(2^{X})^2+2^{6} } }=2^{X}\times 2^{2} \times 5}$

agora podemos chamar um termo em comum de Y para facilitar a nossa expressão, no caso   $2^{X}$

Essa técnica é chamada de substituição

${{(2^{X})^2+2^{6} } }=2^{X}\times 2^{2} \times 5} \Rightarrow \boxed{ {{(Y)^2+2^{6} } }=Y\times 2^{2} \times 5}}$

agora simplificamos a essa expressão

${{(Y)^2+2^{6} } }=Y\times 2^{2} \times 5}} \Rightarrow { {{(Y)^2+64 } }=20Y} \Rightarrow \boxed{Y^2-20Y+64=0}$

aplicamos a formula de Bhaskara

$\dfrac{-B\pm\sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C} }{2A}\\\\\\\dfrac{-(-20)\pm\sqrt{-20^2-4\cdot 1\cdot 64} }{2\times 1}\\\\\\\dfrac{20\pm\sqrt{144} }{2\times 1}\\\\\\\dfrac{20\pm12 }{2}\\\\Y_1\Rightarrow32/2=16\\\\Y_2\Rightarrow8/2=4$

Transformando Y  em $2^{X}$

$Y_1=16 \\\\2^{X}=16\\\\ 2^{X}=2^{4} \\\boxed{X=4^}$

$Y_2=4\\\\2^{X} =4\\\\2^{X}=2^{2}\\\\X=2$

Solução X pode ser tanto 4 como 2

S=`{4, 2}