Question

Ache o valor de m para a equação
2x²-3x+m+3=0,
que admite reciprocidade das raízes.

Answer 1

Ache o valor de m para a equação

2x² - 3x +  m + 3 = 0

que admite reciprocidade das raízes

portanto P = x1*x2 = 1

segundo Girard P = c/a

a =  2, b = -3, c = m + 3

P = c/a = (m + 3)/2 = 1

m + 3 = 2

m = 2 - 3 = -1

Answer 2

Resposta: -1

O método mais prático e rápido é usar a fórmula para o produto das raízes (demonstro abaixo como obtê-la).

• A Reciprocidade em uma equação de segundo grau corresponde a uma situação onde uma raiz é o oposto da outra, na forma: $\mathsf{x_1=x_2^{-1}~\therefore~x_1=\dfrac{1}{x_2}}$

Diante disso, podemos usar a fórmula para obter o produto das raízes, onde os coeficientes consideram o seguinte modelo:

• ax² + bx + c = 0 | 2x² - 3x + m + 3 = 0

$\mathsf{x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{x_2}\cdot x_2=\dfrac{m+3}{2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x_2}{x_2}=\dfrac{m+3}{2}}\\\\\\ \mathsf{1=\dfrac{m+3}{2}}\\\\ \mathsf{m+3=2\cdot1}\\\\ \mathsf{m=2-3=\underline{\mathsf{-1}}}$

A resposta correta é -1.

A fórmula do produto pode ser obtida a através de Bháskara, observe:

$\begin{array}{ll} \mathsf{x_1\cdot x_2}&\mathsf{=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\cdot\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}}\\\\ &\mathsf{=\dfrac{(-b)^2-\left(\sqrt\Delta\right)^2}{\left(2a\right)^2}}\\\\ &\mathsf{=\dfrac{b^2-\sqrt\Delta}{4a^2}}\\\\ &\mathsf{=\dfrac{\cancel{\mathsf{b^2}}-\left(\cancel{\mathsf{b^2}}-\cancel{\mathsf{{4a}}}\cdot c\right)}{\cancel{\mathsf{4a^2}}}}\\\\ &\mathsf{=\dfrac{c}{a}} \end{array}$

Foi usada uma propriedade de produtos notáveis, como a que demonstro a seguir:

x² - y² = (x + y)(x - y)