Question

Ache o resultado das series e sequencias

Answer 1

a) 
 para n impar
$\boxed{\boxed{an = \frac{3^n-2^n}{3^{n+1}-2^n} }}$

como 3^n > 2^n
podemos calcular o limite fazendo
$\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{3^{n+1}} \\\\ \boxed{\boxed{\lim_{n \to \infty} 3^{-1} = \frac{1}{3} }}$

para n par
$\boxed{an= \frac{3^n + 2^n}{3^{n+1}+2^n} }$

repetindo o processo o limite tbm da 1/3
como os limites das duas subsequencias são iguais
a sequencia converge para 1/3

b) 
$\frac{2^n}{n!}\ \textgreater \ 0$

sempre será positivo pois o numerador e o denominador são positivos

e como 
$\boxed{n! \ \textgreater \ 2^n}$

a sequencia é decrescente....
se ela é decrescente e limitada inferiormente ela converge

temos:
$a_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}= \frac{2^n*2}{(n+1)*n!} \\\\ \boxed{\boxed{a_{n+1} = \frac{2^n}{n!}* \frac{2}{(n+1)} }}$

para calcular o limite
se an converge pra L
an+1 tbm converge pra L

 $\lim_{n \to \infty} (a_{n+1})= L\\\\ \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!}* \frac{2}{(n+1)} = L\\\\ \lim_{n \to \infty} an * \lim_{n \to \infty} \frac{2}{(n+1)} = L\\\\L*0 = L \\\\\boxed{\boxed{L=0}}$}}[/tex]

2)
$\sum^{\infty}_{n=1} \left( \frac{1}{4n^2-1} \right)$

decompondo em frações parciais


$\frac{1}{4n^2-1} = \frac{1}{(2n-1)*(2n+1)} \\\\ \frac{1}{4n^2-1} = \frac{A}{(2n-1)}+ \frac{B}{(2n+1)} \\\\ \boxed{\boxed{1=A(2n+1)+B(2n-1)}}$

fazendo n = 1/2 ...A=1/2
fazendo n = -1/2 ...B=-1/2

então 
$\frac{1}{4n^2-1} = \frac{1}{2*(2n-1)} - \frac{1}{2*(2n+1)} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n+1} \right)$

logo:
$\boxed{\boxed{ \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{2n-1}- \frac{1}{2n+1} \right) }}$

veja que é uma serie telescopica
resolvendo:
b1 = 1/(2*1-1)= 1

$S = \frac{1}{2}*[1- \lim_{n \to \infty} ( \frac{1}{2n+1} )]\\\\S= \frac{1}{2}$

b)
$\sum _{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{3^{2n}}$

simplificando
$\frac{2^{n+1}}{3^{2n}} = \frac{2^n*2}{9^n} = 2* (\frac{2}{9}) ^n$

temos:

$\boxed{\boxed{\sum_{n=1}^{\infty} 2*\left(\frac{2}{9}\right) ^n}}$

é uma serie geometrica
r = 2/9

$S = \frac{a_1}{1-r} = \frac{2*( \frac{2}{9}) }{1- \frac{2}{9} } = \frac{4}{7}$