Question

Ache o Dominio de: F(a)
(1-a). ( a²+1) tudo isso dividido por a-2
e raiz na equação inteira

Answer 1

Vamos lá.

Victor, pelo que estamos entendendo, está sendo pedido o domínio da função abaixo, que estaria escrita da seguinte forma:


f(a) = √{[(1-a)*(a²+1)]/(a-2)}

Se for isso mesmo, então veja que:


i) Radicais de índice par (como é o caso do radical da expressão da sua questão, que é raiz quadrada e, como tal tem índice "2" e "2" é par) só aceitam radicandos que sejam maiores ou iguais a zero.
Então, em princípio, teremos que impor que o radicando seja maior ou igual a zero, ou seja, teremos que impor isto:

[(1-a)*(a²+1)]/(a-2) ≥ 0       . (I)


ii) Agora, trabalhando-se com a expressão (I) acima, note que denominador nenhum poderá ser zero. Então deveremos impor que o denominador (a-2) terá que ser diferente de zero. Então deveremos impor que:

a - 2 ≠ 0
a ≠ 2        . (II)


iii) Veja que já temos duas restrições: o radicando terá que ser maior ou igual a zero (conforme vimos na expressão I), e o denominador, por sua vez, terá que ser diferente de "2" (conforme vimos na expressão II).

Agora vamos trabalhar com a expressão (I), que é esta:

[(1-a)*(a²+1)]/(a-2) ≥ 0

Veja que:

- no numerador, temos o produto entre duas funções: g(a) = 1-a; e h(a) = a²+1.
- no denominador, temos a função i(a) = a-2.

Agora vamos fazer o seguinte: encontramos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, analisaremos a variação de sinais de cada uma delas e, no final, veremos qual é o domínio da expressão inicial. Assim, teremos:

g(a) = 1-a ----> raízes: 1 - a = 0 ---> - a = - 1 ---> a = 1.

h(a) = a²+1 ---> raízes: a² = -1 <--- impossível, pois se o "a" está ao quadrado, então o resultado jamais poderia ser negativo. Logo, esta equação não tem raízes reais. E, considerando que o coeficiente de "a²" é positivo, então esta equação será SEMPRE positiva para qualquer valor que "a" venha a assumir.

i(a) = a - 2 ---> raízes: a - 2 = 0 ---> a = 2.


Agora vamos analisar a variação de sinais de cada uma das equações dadas (veja que temos multiplicação e divisão: para chegarmos ao resultado, fazemos aquele já famoso jogo de sinais: mais com mais, com menos, com mais, etc, etc).


a) g(a) = 1 - a ... ++++++++++(1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) h(a) = a²+1 ...++++++++++++++++++++++++++++++++++++
c) i(a) = a-2 ....  - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2) +++++++++++++++
d) (a*b)/c ......... - - - - - - - - - (1)++++++++(2) - - - - - - - - - - - - - - -


Agora veja: como queremos que [g(a)*h(a)]/i(a) ≥ 0 , então só iremos nos preocupar onde tiver sinal de MAIS no item "d" acima, que nos fornece o resultado do produto das duas primeiras funções dividido pela terceira função, valendo notar que o "a" jamais poderá ser igual a "2", pois ele terá que ser diferente de "2", que é uma das restrições encontradas anteriormente (lembra disso lá na expressão II ?).

Assim, o domínio da da função inicialmente dada será:

1 ≤ a < 2 ---------- Esta é a resposta.

Note que o "a" poderá ser apenas menor do que "2" e nunca menor ou igual, pois "a", como já vimos antes, não poderá assumir o valor igual a "2".

Se você quiser, poderá apresentar o domínio da seguinte forma, o que significa a mesma coisa:

S = {a ∈ R | 1 ≤ a < 2} .


E ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado da seguinte forma, o que quer dizer a mesma coisa:

S = [1; 2) ou, o que é o mesmo: S = [1; 2[ .


Deu pra entender bem todo o desenvolvimento da questão?


OK?
Adjemir.