Question

ache o domínio de:

a) y=raiz de sen(x-pi/3)
b) Y=Raiz de cos(2x-pi/6)

Answer 1

Achar o domínio das funções trigonométricas:

a)  $\mathsf{y=\sqrt{sen\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right )}}$

A restrição aqui é que o radicando de índice par não pode ser negativo.  Como temos uma raiz quadrada envolvida, devemos ter

     $\mathsf{sen\!\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right )\ge 0}$


O seno é positivo no  1º  e  2º  quadrantes. Logo, devemos ter

     $\mathsf{x-\dfrac{\pi}{3} \in Q_I\cup Q_2}\\\\\\ \mathsf{0+k\cdot 2\pi\le x-\dfrac{\pi}{3}\le \pi+k\cdot 2\pi}$


Some  π/3  a todos os membros da desigualdade:

     $\mathsf{0+k\cdot 2\pi+\dfrac{\pi}{3}\le x-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\le \pi+k\cdot 2\pi+\dfrac{\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{k\cdot 2\pi+\dfrac{\pi}{3}\le x\le \pi+k\cdot 2\pi+\dfrac{\pi}{3}}$


Para simplificar,  reduza os membros extremos da desigualdade ao mesmo denominador  3:

     $\mathsf{k\cdot \dfrac{6\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\le x\le \dfrac{3\pi}{3}+k\cdot \dfrac{6\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{k\cdot 6\pi+\pi}{3}\le x\le \dfrac{3\pi+k\cdot 6\pi+\pi}{3}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\pi\cdot (k\cdot 6+1)}{3}\le x\le \dfrac{\pi\cdot (3+k\cdot 6+1)}{3}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\pi\cdot (6k+1)}{3}\le x\le \dfrac{\pi\cdot (4+6k)}{3}}$


Colocando  π/3  em evidência,

     $\mathsf{\dfrac{\pi}{3}\cdot(6k+1)\le x\le \dfrac{\pi}{3}\cdot(6k+4)}$    ⮜————    domínio.

com  k  variando nos inteiros.

—————

b)  $\mathsf{y=\sqrt{cos\!\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right )}}$

De forma análoga, devemos ter

     $\mathsf{cos\!\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right )\ge 0}$


O seno é positivo no  4º  e  1º  quadrantes. Logo, devemos ter

     $\mathsf{2x-\dfrac{\pi}{6}\in Q_{IV}\cup Q_I}\\\\\\ \mathsf{-\,\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi\le 2x-\dfrac{\pi}{6}\le \dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi}$


Some  π/6  a todos os membros da desigualdade:

     $\mathsf{-\,\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi+\dfrac{\pi}{6}\le 2x-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6}\le \dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi+\dfrac{\pi}{6}}\\\\\\ \mathsf{-\,\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi+\dfrac{\pi}{6}\le 2x\le \dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi+\dfrac{\pi}{6}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{-3\pi+k\cdot 12\pi+\pi}{6}\le 2x\le \dfrac{3\pi+k\cdot 12\pi+\pi}{6}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\pi\cdot (-3+k\cdot 12+1)}{6}\le 2x\le \dfrac{\pi\cdot (3+k\cdot 12+1)}{6}}$

     $\mathsf{\dfrac{\pi\cdot (12k-2)}{6}\le 2x\le \dfrac{\pi\cdot (12k+4)}{6}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\pi\cdot 2(6k-1)}{6}\le 2x\le \dfrac{\pi\cdot 2(6k+2)}{6}}$


Divida todos os membros por  2:

     $\mathsf{\dfrac{\pi\cdot (6k-1)}{6}\le x\le \dfrac{\pi\cdot (6k+2)}{6}}$


Colocando  π/6  em evidência,

     $\mathsf{\dfrac{\pi}{6}\cdot (6k-1)\le x\le \dfrac{\pi}{6}\cdot (6k+2)}$    ⮜————    domínio.

com  k  variando nos inteiros.


Bons estudos! :-)