Question

Ache o conjunto solução
a)
$3 + \sqrt{x - 2} = \sqrt{5x + 1}$

b)
$\sqrt{7 - x} + x = 1$
​

Answer 1

Resposta:

a) x' = 3  e x'' = 9/4

S = { 3, 9/4 }

b) x = -2

S = {-2}

Explicação passo a passo:

a)

elevando os dois membros ao quadrado temos.

$(3+\sqrt{x-2})^2 = (\sqrt{5x+1})^2\\3^2+2\cdot3\cdot\sqrt{x-2} +(\sqrt{x-2})^2 = 5x + 1\\9 +6\sqrt{x-2}+(x-2) = 5x+1\\6\sqrt{x-2} = 5x-x+1-7\\6\sqrt{x-2} = 4x-6\\(3\sqrt{x-2})^2 = (2x-3)^2\\9(x-2 ) = 4x^2-12 x+9\\9x-18 = 4x^2-12x+9\\4x^2-12x-9x+9+18 = 0\\4x^2-21x+27 = 0$

agora usando o Δ teremos

$\Delta = (-21)^2-4\cdot4\cdot27\\\Delta = 441-432\\\Delta = 9$

agora usando a fórmula de Báskara temos

$x = \frac{21+-\sqrt{\Delta} }{2\cdot4} \\\\x = \frac{21+-\sqrt{9} }{8} \\\\x = \frac{21+-3}{8} \\\\x'= \frac{21+3}{8} = \frac{24}{8} = 3\\\\x'' = \frac{21-3}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$

Agora vamos verificar se os resultados são mesmo solução.

par x = 3 teremos

$3 + \sqrt{3-2 } = \sqrt{5\cdot3+1 }\\3+\sqrt{1 } = \sqrt{16 }\\3+1 = 4\\4 = 4$

ok

Agora para x = 9/4

$3+ \sqrt{\frac{9}{4}-2 } = \sqrt{5\frac{9}{4}+1 } \\3+\sqrt{\frac{1}{4} } = \sqrt{\frac{49}{4} } \\\\3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}\\\\ \frac{7}{2}} = \frac{7}{2}$

ok

as soluções são S = { 3 e 9/4}

b)

$\sqrt{7-x}+x = 1\\\sqrt{7-x} = 1-x\\(\sqrt{7-x})^2 = (1-x)^2\\7-x = 1-2x+x^2\\x^2-x-6 = 0$

Agora usando $\Delta$ temos

$\Delta = (-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)\\\Delta = 1+24\\\Delta = 25$

e por Baskara temos

$x = \frac{1+-\sqrt{25} }{2}\\\\x = \frac{1+-5}{2}\\\\x' = \frac{1+5}{2} = \frac{6}{2} = 3\\\\x'' = \frac{1-5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Agora vamos verificar

para x = 3 temos

$\sqrt{7-3}+3 = 1\\\sqrt{4}+3 = 1\\2+3 = 1\\5 = 1$ isso é falso pois $5\neq 1$

para x = -2 temos

$\sqrt{7-(-2)}+(-2) = 1\\\\\sqrt{7+2}-2 = 1 \\\\\sqrt{9}-2 = 1\\3-2 = 1\\1 = 1$

ok