Question

Ache o comprimento de arco da curva?​

Answer 1

O comprimento do arco de uma função $f(y)$ pode ser calculado pela seguinte integral:

$L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(y)]^2}\;dy$

Derivando a função $f(y)=3y^{3/2}-1$, obtemos que $f'(y)=3\cdot\frac{3}{2}\cdot y^{3/2-1}=\frac{9}{2}\sqrt{y}$, logo o comprimento é dado por:

$L=\int_0^4\sqrt{1+(\frac{9}{2}\sqrt{y})^2}\;dy$

$L=\int_0^4\sqrt{1+\frac{81}{4}\,y}\;dy$

$L=\int_0^4\sqrt{\frac{4+81y}{4}}\;dy$

$L=\frac{1}{2}\int_0^4\sqrt{4+81y}\;dy$

Considerando que $4+81y=u$, $\frac{du}{dy}=81\therefore dy=\frac{1}{81}\;du$. Como vamos realizar uma mudança de variáveis, devemos recalcular os limites de integração. Para $y=0$, $u=4$ enquanto para $y=4$, $u=328$. Substituindo:

$L=\frac{1}{2}\int_4^{328}\sqrt{u}\cdot\frac{1}{81}\;du$

$L=\frac{1}{162}\int_4^{328}\sqrt{u}\;du$

$L=\frac{1}{162}\left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_4^{328}$

$L=\frac{1}{162}\left[\frac{2}{3}\;u^{3/2}\right]_4^{328}$

$L=\frac{1}{243}\left[u^{3/2}\right]_4^{328}$

$L=\frac{1}{243}(328^{3/2}-4^{3/2})$

$L=\frac{1}{243}(328\sqrt{328}-4\sqrt{4})$

$L=\frac{1}{243}(328\cdot2\sqrt{82}-4\cdot2)$

$L=\frac{1}{243}(656\sqrt{82}-8)$

$L=\frac{8}{243}(82\sqrt{82}-1)\text{ u.c}$