Question

Ache dois números naturais e consecutivos cuja a soma dos quadrados seja 61.

Answer 1

x² + (x+1)² = 61
x² + x²+2x+1 = 61
2x²+2x+1-61=0
2x²+2x-60=0 .(:2)
x²+x-30 = 0
/\ = 1²-4.1.(-30)
/\ = 1+120
/\ = 121
x = (-1+/-\/121)/2
x = (-1+/-11)/2
x' = (-1-11)/2 = -12/2 = -6 (não convém)
x" = (-1+11)/2 = 10/2 = 5 (solução)

Answer 2

Os dois números naturais e consecutivos, cuja a soma dos quadrados resulta em 61, são 5 e 6, a partir da álgebra e dos produtos notáveis.

Usando álgebra e produtos notáveis:

Se os números são consecutivos, podemos escrevê-los da seguinte forma:

• $x$ (número natural).

• $x+1$ (o próximo número depois do natural "x", ou seja, o consecutivo).

Sabemos que a soma dos quadrados desses dois números é 61, então:

$(x)^2 + (x+1)^2 = 61$

Agora vamos resolver o produto notável $(x+1)^2$, esse é um caso de quadrado da soma:

$(x+1)^2 = (x+1).(x+1)\\(x+1)^2 = (x^2+x+x+1)\\(x+1)^2 = x^2+2x+1$

A equação ficará assim:

$x^2+x^2+2x+1=61\\2x^2+2x+1-61=0\\2x^2+2x-60=0\ (simplificamos\ por\ 2)\\x^2+x-30=0$

Vamos resolver a equação do segundo grau, primeiro calculamos o Δ.

$\Delta=b^2-4ac\\\Delta=1^2-4.1.-30\\\Delta=1+120\\\Delta=121$

Em seguida substituímos na fórmula de Bhaskara:

$x'=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2.a}\ \ \ \ x''=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2.a}\\\\x'=\frac{-1+\sqrt{121} }{2.1}\ \ x''=\frac{-1-\sqrt{121} }{2.1}\\\\x'=\frac{-1+11}{2}\ \ \ \ \ x''=\frac{-1-11 }{2}\\\\x'=\frac{10}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x''=\frac{-12 }{2}\\\\x'=5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x''=-6$

Como o número deve ser natural, então anulamos a possibilidade de ser -6, portanto o valor de "x" é 5.

Então os números são 5 e 6.

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