Question

Ache dois números inteiros positivos e consecutivos sabendo que a soma de seus quadrados é 481

Answer 1

Os números procurados são $n$ e $(n+1),$ para algum $n$ natural.

De acordo com o enunciado, a soma dos quadrados dos números é $481.$ Logo, devemos ter

$n^{2}+(n+1)^{2}=481$


Expandindo o quadrado da soma por produtos notáveis, obtemos

$n^{2}+n^{2}+2n=481-1\\ \\ 2n^{2}+2n=480\\ \\ 2n^{2}+2n-480=0\\ \\ 2\cdot (n^{2}+n-240)=0\\ \\ n^{2}+n-240=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{\begin{array}{l} a=1\\b=1\\c=-240 \end{array} \right.$


$\Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot 240\\ \\ \Delta=1+960\\ \\ \Delta=961\\ \\ \Delta=31^{2}\\ \\ \\ n=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ \\ n=\dfrac{-1\pm \sqrt{31^{2}}}{2\cdot 1}\\ \\ \\ n=\dfrac{-1\pm 31}{2}\\ \\ \\ \begin{array}{rcl} n=\dfrac{-1+31}{2}&\;\text{ ou }\;&n=\dfrac{-1-31}{2}\\ \\ n=\dfrac{30}{2}&\;\text{ ou }\;&n=\dfrac{-32}{2}\\ \\ n=15&\;\text{ ou }\;&n=-16\;\;\text{(n\~{a}o serve, pois }n\text{ \'{e} natural}\\ \\ &n=15& \end{array}$


Logo, os números procurados são

$\bullet\;\;n=15\\ \\ \bullet\;\;n+1=16$