Question

Ache a solução geral da equação diferencial dy/dx= cos x+2x​

Answer 1

⇒ A solução geral dessa EDO é $y=\sin x +x^2+c,c\in \mathbb{R}$

$\blacksquare$ Seja uma equação diferencial da forma $\frac{dy}{dx}=f(x)$. Se integrarmos dos dois lados da equação em relação a x, obtemos:

$\Large \begin{array}{l}\int \frac{dy}{dx} dx=\int f( x) dx\\\\\Longrightarrow y=\int f( x) dx\end{array}$

$\blacksquare$ Temos $f(x)=\cos x+2x$, então a solução geral é:

$\Large \begin{array}{l}y=\int f( x) dx\\\\=\int \cos x+2xdx\\\\=\int \cos xdx+\int 2xdx\end{array}$

Sabemos que:

$\Large\begin{array}{l}\int \cos xdx=\sin x\ +c\\\\\text{e}\\\\\int ax^{n} dx=a\cdotp \frac{x^{n} +1}{n+1} +c,n\neq -1\\\\\therefore y=\sin x+c+\cancel{2} \cdotp \frac{x^{2}}{\cancel{2}} +c\\\\\Rightarrow\boxed{\boxed{y=\sin x+x^{2} +c}}\end{array}$

∴A solução geral é y = senx + x² + c. Note que y' = cosx + 2x.

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