Question

Ache a solução do sistema $\ x^{2} + y^{2} = 13 \atop {x.y = 6}} \right.$

Answer 1

x² + y² = 13
x.y = 6
------------------------------------------------------------------------------------------------------
x = 6/y

x² + y² = 13
(6/y)² + y² = 13
36/y² + y² = 13
36 + y⁴ = 13y²
y⁴ - 13y² + 36 = 0
Δ = 25
x' = 9
x'' = 4

y =x²
y = ⁺/₋ √9 = ⁺/₋3

y'' = ⁺/₋ √4 = ⁺/₋2

Resposta:

S = {(3,2),(-3,-2)}

Answer 2

Vamos lá.

Tem-se o seguinte sistema:

x² + y² = 13      . (I)
xy = 6            . (II)

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos trabalhar com a expressão (II), que é esta:

xy = 6
x = 6/y      . (III)

ii) Agora vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos "x' por "6/y".
Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta:

x² + y² = 13 --- substituindo "x' por "6/y", teremos:
(6/y)² + y² = 13 ---- desenvolvendo o quadrado, teremos:
36/y² + y² = 13 ----- mmc no 1º membro = y². Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

(1*36 + y²*y²)/y² = 13
(36 + y⁴)/y² = 13 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;
36 + y⁴ = 13y² ---- passando 13y² para o 1º membro e ordenando-o, temos:
y⁴ - 13y² + 36 = 0 ---- vamos fazer y² = k. Assim, teremos:

k² - 13k + 36 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

k' = 4
k'' = 9

Mas lembre-se que fizemos y² = k. Então:

ii.a) Para k = 4, teremos:

y² = 4
y = ±√(4) ---- como √(4) = 2, teremos;
y = ± 2 --- ou seja, teremos que:

y' = -2, ou y'' = 2.

ii.b) Para k = 9, teremos:

y² = 9
y = ± √(9) ----- como √(9) = 3, teremos:
y = ± 3 --- daqui você conclui que:

y' = -3, ou y'' = 3.

iii) Agora vamos encontrar o valor de "x" quando y = -2, y = 2, y = -3 e y = 3.
Assim, tomando-se a expressão (III), que é esta, teremos:

x = 6/y ---- para y = -2, teremos:
x = 6/-2 ---> x = -3

x = 6/y ---- para y = 2, teremos;
x = 6/2 ---> x = 3.

x = 6/y ---- para y = -3, teremos;
x = 6/-3 ---> x = -2

x = 6/y ---- para y = 3, teremos:
x = 6/3 ---> x = 2.

iv) Assim, como você viu, as respostas serão aos pares, ou seja:


x = -3; e y = -2
ou
x = -2; e y = -3
ou
x = 2; e y = 3
ou
x = 3; e y = 2

Pronto. Quaisquer que sejam os pares tomados, você terá a igualdade do sistema original verificado.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.