Question

Ache a soluçao da equaçao diferencial y' = -2xy^2 , que atenda a condição inicial y (0)=5 e assinale a alternativa que a contenha.

Pergunta esta anexo:

Answer 1

Resposta

dy/dx= −2xy^2

Separando as variáveis:

dy/y^2= − 2x dx

Reescrevendo:

y^−2dy = −2xdx

Integrando os lados da equação, teremos:

∫ y^−2dy = ∫−2xdx

y^−2+1 / −2+1 = −2 (x^1+1) / ( 1+1)  +C

y^−1 / −1

= −2 (x^2) / (2) +C

−y ^−1 = −x^2+C

y= − 1/ C−x^2

Com a condição y(0)=5:

−1/5=−0^2+C

c=-1/5

A solução particular desta equação é:

−y^−1=−x^2+C

−1/y=−x^2 − 1/5

1/y=x^2 + 1/5

Answer 2

Para encontrarmos a solução da equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem $y'=-2xy^2$ , cuja condição inicial é y(0)=5, devemos usar o método de separação de variáveis, e este irá resultar em  $y= \frac{1}{x^{2}+\frac{1}{5}}$  (Letra B).

Como podemos iniciar o método de separação de variáveis para solucionarmos essa EDO?

 Primeiramente, devemos substituir o y' por $\frac{dy}{dx}$, assim ficaremos com:

$\frac{dy}{dx} = -2xy^2$

    O passo seguinte é colocarmos o que possui y e dy para um lado e o que possui x e dx para o outro lado:

$\frac{dy}{y^{2}} = -2x.dx$

    Integrando os dois lados obtemos:

$-\frac{1}{y} = - x^{2}+C$              **      

Quando utilizamos a condição inicial  fornecida na questão?

   Após integrarmos os dois lados da equação e  termos uma função de x e y, devemos substituir a condição inicial dada no problema: y(0)=5 e em seguida descobriremos o valor de C, a constante de integração.

$-\frac{1}{5} = - 0^{2}+C$

$-\frac{1}{5} = C$

    Logo, a constante C é -1/5. Substituindo esse valor na equação **, ficaremos com:

$-\frac{1}{y} = - x^{2}-\frac{1}{5}$

     Por fim, precisamos isolar o y, para tanto, podemos multiplicar a equação por (-1) de ambos os lados:

$\frac{1}{y} = x^{2}+\frac{1}{5}$

     Agora, invertendo ambos os lados, obtemos y:

$y= \frac{1}{x^{2}+\frac{1}{5}}$

Resultando na letra B.

Entenda mais sobre o método de separação de variáveis de equações diferenciais de 1ª ordem em:

https://brainly.com.br/tarefa/49351588

#SPJ1