Question

Ache a equação reduzida da circunferência que passa pelos pontos (3,0),(-6-3) e ( (1,4).

Answer 1

Dados três pontos $A(3,\,0),$ $B(-6,\,-3)$ e $C(1,\,4)$ não colineares, encontrar a equação reduzida da circunferência que passa por $ABC.$

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$\bullet\;\;$ Encontrar a reta $r$ mediatriz do segmento $AB:$

Sendo $M(x_{_{M}},\,y_{_{M}})$ o ponto médio do segmento $AB\,,$ a equação da reta mediatriz é dada por

$r:~y-y_{_{M}}=\dfrac{x_{_{A}}-x_{_{B}}}{y_{_{B}}-y_{_{A}}}\cdot (x-x_{_{M}})\\\\\\ r:~y-\dfrac{y_{_{A}}+y_{_{B}}}{2}=\dfrac{x_{_{A}}-x_{_{B}}}{y_{_{B}}-y_{_{A}}}\cdot \left(x-\dfrac{x_{_{A}}+x_{_{B}}}{2}\right)~~~~~~(y_{_{B}}\ne y_{_{A}})\\\\\\ r:~y-\dfrac{0+(-3)}{2}=\dfrac{3-(-6)}{-3-0}\cdot \left(x-\dfrac{3+(-6)}{2}\right)\\\\\\ r:~y+\dfrac{3}{2}=\dfrac{3+6}{-3}\cdot \left(x+\dfrac{3}{2}\right)\\\\\\ r:~y+\dfrac{3}{2}=-3\cdot \left(x+\dfrac{3}{2}\right)\\\\\\ r:~y+\dfrac{3}{2}=-3x-\dfrac{9}{2}$

$r:~y=-3x-\dfrac{9}{2}-\dfrac{3}{2}\\\\\\ r:~y=-3x-\dfrac{12}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}r:~y=-3x-6 \end{array}}$

( reta mediatriz do segmento $AB$ )

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$\bullet\;\;$ Encontrar a reta $s$ mediatriz do segmento $BC:$

De forma análoga, sendo $N$ o ponto médio do segmento $BC\,,$ a equação de $s$ é dada por

$s:~y-y_{_{N}}=\dfrac{x_{_{B}}-x_{_{C}}}{y_{_{C}}-y_{_{B}}}\cdot (x-x_{_{N}})\\\\\\ s:~y-\dfrac{y_{_{B}}+y_{_{C}}}{2}=\dfrac{x_{_{B}}-x_{_{C}}}{y_{_{C}}-y_{_{B}}}\cdot \left(x-\dfrac{x_{_{B}}+x_{_{C}}}{2}\right)~~~~~~(y_{_{C}}\ne y_{_{B}})\\\\\\ s:~y-\dfrac{(-3)+4}{2}=\dfrac{-6-1}{4-(-3)}\cdot \left(x-\dfrac{(-6)+1}{2}\right)\\\\\\ s:~y-\dfrac{1}{2}=\dfrac{-7}{7}\cdot \left(x+\dfrac{5}{2}\right)\\\\\\ s:~y-\dfrac{1}{2}=-1\cdot \left(x+\dfrac{5}{2}\right)$

$s:~y-\dfrac{1}{2}=-x-\dfrac{5}{2}\\\\\\ s:~y=-x-\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}\\\\\\ s:~y=-x-\dfrac{4}{2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}s:~y=-x-2 \end{array}}$

( reta mediatriz do segmento $BC$ )

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A interseção entre as retas mediatrizes é o centro da circunferência:

$\left\{ \!\begin{array}{l} y=-3x-6\\\\ y=-x-2 \end{array} \right.$


Como temos $y$ isolado nas duas equações, vamos igualar o lado direito das duas igualdades:

$-3x-6=-x-2\\\\ -3x+x=-2+6\\\\ -2x=4\\\\ x=\dfrac{4}{-2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=-2 \end{array}}$


Encontrando $y$ pela segunda equação:

$y=-x-2\\\\ y=-(-2)-2\\\\ y=2-2\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y=0 \end{array}}$


O centro da circunferência é o ponto $P(-2,\,0).$

A distância de $P$ a qualquer um dos pontos $A,$ $B$ ou $C$ é constante e é o raio da circunferência.

Como $P$ e $A$ são ambos pontos sobre o eixo $x\,,$ tiramos diretamente que o raio $\rho$ da circunferência é

$\rho=|x_{_{P}}-x_{_{A}}|\\\\ \rho=|\!-2-3|\\\\ \rho=|\!-5|\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\rho=5 \end{array}}$

( raio da circunferência )
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Equação reduzida da circunferência:

$(x-x_{_{P}})^2+(y-y_{_{P}})^2=\rho^2\\\\ (x-(-2))^2+(y-0)^2=5^2\\\\ \boxed{\begin{array}{c}(x+2)^2+y^2=25 \end{array}}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo: