Question

Ache a equação reduzida da circunferência que passa pelos pontos (3,0),(-6-3) e ( (1,4).
(detalhar a conta)

Answer 1

Pra achar a equação de uma circunferência a partir de 3 pontos, você substitui o valor dos pontos na equação reduzida da circunferência, monta um sistema com 3 equações e resolve.

A equação reduzida é:

$( x - x_p)^2 + ( y - y_p)^2 = R^2$

Xp → abscissa do ponto

Yp → ordenada do ponto

R → raio

________________

( I ) ( x - 3 )² + ( y - 0 )² = R²

x² + y² - 6x + 9 = R²

____

( II ) ( x + 6 )² + ( y + 3 )² = R²

x² + y² + 12x + 6y + 45 = R²

____

( III ) ( x - 1 )² + ( y - 4 )² = R²

x² + y² - 2x - 8y + 17 = R²

____________

Montando o sistema e resolvendo:

$\begin{cases} x^2 + y^2 - 6x + 9 = R^2 \\ x^2 + y^2 +12x +6y + 45 = R^2 \\ x^2 + y^2 -2x -8y + 17 = R^2 \end{cases}$

A partir daqui é resolver o sistema. Utilize o método que desejar.

$x^2 + y^2 - 6x + 9 = x^2 + y^2 + 13x + 6y + 45 \\\\ -6x - 12x = 6y + 45 - 9 \\\\ x = -{ y \over 3} - 2 \\\\ ( -{ y \over 3} - 2} )^2 + y^2 - 2( -{ y \over 3} -2 ) - 8y + 17 = ( -{ y \over 3} - 2} )^2 + y^2 + 12( -{ y \over 3} - 2} ) + 6y + 45$

Resolvendo essa equação, encontramos y = 0

Substituindo o valor de y na primeira e na segunda equação:

$x^2 + 0 - 6x + 9 = x^2 + 0 + 12x + 0 +45 \\\\ 18x = -36 \\\\ x = -2$

Já temos o centro da circunferência, que é ( -2, 0).

Para encontrar o raio, calculamos a distância do centro a qualquer um dos pontos dados na questão.

Distância entre pontos:

$d = \sqrt{ ( x_a - x_b )^2 + ( y_a - y_b)^2 }$

A distância será o próprio raio, então

$R = \sqrt{( 3 + 2)^2 + ( 0 - 0 )^2} \\\\ R = \sqrt{5^2} \\\\ R = 5$

______________

Finalmente podemos determinar a equação reduzida. Obtivemos o centro e o raio.

$\boxed{( x + 2 )^2 + y^2 = 5^2}$

* Só pra confirmar, deixei um gráfico mostrando a equação da circunferência e os pontos que ela passa :)