Question

Ache a equação geral do plano que é paralelo ao plano $\pi: 2x - 3y -z +5=0$ e que contenha o ponto A(4, -2, 1 ).

Answer 1

todo plano é dado por:

$ax+by+cz+d=0$

o vetor orientador do plano é

$\vec n=(a,b,c)$

se dois planos tem o mesmo vetor orientador, então são paralelos.

$d=-ax_0-by_0-cz_0$

Então o plano paralelo que contem A é

$2x-3y-z-2.4-(-3).(-2)-(-1).1=0$

$2x-3y-z-13=0$

Answer 2

✅ Após ter desenvolvido os cálculos, concluímos que a equação do plano procurado é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \beta: 2x - 3y - z - 13 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Sejam os dados:

        $\Large\begin{cases} \pi: 2x - 3y - z + 5 = 0\\A(4, -2, 1)\end{cases}$

Para encontrarmos a equação geral de um plano qualquer devemos ter o vetor normal "n" ao plano e um ponto pertencente ao plano - que, neste caso é o ponto "A" - ou seja, devemos ter os seguintes itens:

                $\Large\begin{cases} \vec{n} = (X_{n}, Y_{n}, Z_{n})\\A(X_{A}, Y_{A}, Z_{A})\end{cases}$

Para montarmos a equação geral do plano "β" a partir do vetor normal e o ponto pertencente ao plano devemos utilizar a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$      $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{A} + Y_{n}\cdot Y_{A} + Z_{n}\cdot Z_{A}\end{gathered}$

Para resolver esta questão, devemos:

• Recuperar o vetor normal do plano "π":

       Se a equação do plano "π" é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: 2x - 3y - z + 5 = 0\end{gathered}$

        Então o seu vetor normal é:

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = (2, -3, -1)\end{gathered} }$

• Obter o vetor normal do plano "β":

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \textrm{Se}\:\beta\parallel\pi\Longleftrightarrow\:\vec{n_{\beta}} = \vec{n_{\pi}}\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\vec{n_{\beta}} = (2, -3, -1)\end{gathered} }$

• Montar a equação do plano "β" paralelo ao plano "π":

         Para isso, devemos substituir as coordenadas do vetor normal do plano "β" e as coordenadas do ponto "A" na equação "I". Então, temos:

    $\large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot x + (-3)\cdot y + (-1)\cdot z = 2\cdot4 + (-3)\cdot(-2) + (-1)\cdot1\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 3y - z = 8 + 6 - 1\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 3y - z = 13\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x - 3y - z - 13 = 0\end{gathered}$

Portanto, a equação do plano procurado é:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \beta: 2x - 3y - z - 13 = 0\end{gathered}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/16331001
2. https://brainly.com.br/tarefa/29011448

Solução gráfica: