Question

ache a equação geral do plano

a)Passando pelos pontos (4,3,1,),(-3,0,4) e (0,0,3).

b)Passando pelos pontos (1,0,1) e de vetor normal (3,4,5).

c)Passando pelo ponto (2,1,3) e contendo a reta x-1/2=y-2/3=z-4/5

Answer 1

A equação geral do plano que passa pelos pontos (4,3,1), (-3,0,4) e (0,0,3) é 3x + 2y + 9z = 27. Já a equação geral do plano que passa pelo ponto (1,0,1) e de vetor normal (3,4,5) é 3x + 4y + 5z = 8. E a equação geral do plano que passa pelo ponto (2,1,3) e que contém a reta (x - 1)/2 = (y - 2)/3 = (z - 4)/5 é 2x + 7y - 5z = -4.

a) Para determinarmos o plano que passa pelos pontos (4,3,1), (-3,0,4) e (0,0,3), vamos determinar, primeiramente, as equações paramétricas do plano.

Para isso, precisamos de dois vetores direção e um ponto:

(-3,0,4) - (4,3,1) = (-7,-3,3)

(0,0,3) - (-3,0,4) = (3,0,-1)

Escolhendo o ponto (4,3,1) obtemos as seguintes equações paramétricas:

{x = 4 - 7t + 3s

{y = 3 - 3t

{z = 1 + 3t - s

Da terceira equação, podemos dizer que: s = 1 + 3t - z e da segunda equação podemos dizer que t = (-y + 3)/3. Assim, s = 4 - y - z.

Substituindo o valor de t e s na primeira equação:

x = 4 - 7((-y + 3)/3) + 3(4 - y - z)

x = 4 + 7y/3 - 7 + 12 - 3y - 3z

3x = 12 + 7y - 21 + 36 - 9y - 9z

3x = 27 - 2y - 9z

3z + 2y + 9z = 27.

b) A equação geral de um plano é definida por ax + by + cz = d, sendo n = (a,b,c) o vetor normal ao plano.

Como n = (3,4,5), então:

3x + 4y + 5z = d.

Além disso, temos a informação de que o plano passa pelo ponto (1,0,1). Então:

3.1 + 4.0 + 5.1 = d

3 + 5 = d

d = 8.

Logo, 3x + 4y + 5z = 8.

c) Observe que, como a reta está contida no plano, então se um ponto pertence à reta, então esse ponto também pertence ao plano.

Perceba que o ponto (3,5,9) satisfaz o que foi dito acima.

Com os três pontos (3,5,9), (2,1,3) e (1,2,4) podemos montar as seguintes equações paramétricas do plano:

{x = 1 - t - s

{y = 2 - 4t + s

{z = 4 - 6t + s

Veja que os vetores (-1,-4,-6) e (-1,1,1) são vetores paralelos ao plano.

Ao fazermos o produto vetorial (-1,-4,-6) e (-1,1,1) obtemos o vetor (2,7,-5), que é normal ao plano.

Assim,

2x + 7y - 5z = d.

Daí,

2.2 + 7.1 - 5.3 = d

d = -4.

Logo, 2x + 7y - 5z = -4.