Question

ache a equação da reta tangente

f(x)=2x²+3 em X0=2

Answer 1

$f(x)=2x^2+3\\\\\\x_0=2$

primeiro encontramos o ponto y0
substituindo o valor de x0 na função

$f(x)=2x^2+3\\\\f(2)=2*2^2+3\\\\f(2)=11=y_0$

a reta tangente é uma equação do primeiro grau
$y=m(x-x_0)+y_0$

m é o coeficiente angular ..ele é dado pela derivada da função no ponto x0

$f(x)=2x^2+3\\\\\\f'(x)=4x\\\\m=f'(2)=4*2=8\\\\m=8$

agora substituindo
x0 por 2
y0 por 11
m por 8
teremos a equação da reta tangente ao grafico
$y=m(x-x_0)+y_0\\\\y=8(x-2)+11\\\\y=8x-16+11\\\\\boxed{y=8x-5}\to reta.Tangente$

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derivando por definição de limite seria
$\lim_{h \to 0} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
h = delta x

$\frac{(2(x+h)^2) +3)-(2x^2+3)}{h}\\\\\\= \frac{(2(x^2+2xh+h^2)+3)-(2x^2+3)}{h} \\\\= \frac{(2x^2+4xh+2h^2+3)-2x^2-3}{h} \\\\= \frac{(4xh+2h^2)}{h} \\\\= \frac{h(4x+2h)}{h} \\\\=4x+2h$
como h tende a 0

substituindo h por 0 a resposta será 4x
que é a derivada