Question

Ache a equação da reta tangente a curva y=2 x² +3 em x=3.

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação da reta tangente ao gráfico da referida função polinomial no referido ponto dado é:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 12x - 15\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases} y = 2x^{2} + 3\\x = 3\end{cases}$

Sabendo que:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$

Então, temos:

            $\Large\begin{cases} f(x) = 2x^{2} + 3\\x = 3\end{cases}$

Para calcular a reta tangente que toca o gráfico da referida função pelo ponto "P" devemos utilizar a forma "ponto/declividade" da reta que é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{P} = m_{t}\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

Sendo:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{P} = f(x_{P})\end{gathered}$

Além disso sabemos também que o coeficiente angular da reta tangente é numericamente igual à derivada primeira da função no referido ponto, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = f'(x_{P})\end{gathered}$

Substituindo "II" e "III" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{P}) = f'(x_{P})\cdot(x - x_{P})\end{gathered}$

Substituindo os valores na equação "IV", temos:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - \left[2\cdot3^{2} + 3\right] = \left[2\cdot2\cdot3^{2 - 1} + 0\right]\cdot(x - 3)\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - \left[2\cdot9 + 3\right] = \left[4\cdot3 + 0 \right]\cdot(x - 3)\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 21 = 12\cdot(x - 3)\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 21 = 12x - 36\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 12x - 36 + 21\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 12x - 15\end{gathered}$

✅ Portanto, a reta tangente é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 12x - 15\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$