Question

Ache a equação da elipse que tem o eixo maior igual a 10 e focos F1 (2,-1) E F2(2,5)

RESPOSTA:
25x²+16y²-100x-64y-236=0

Answer 1

O centro da elipse é o ponto médio do segmento formado pelos focos

$C=\dfrac{F_{1}+F_{2}}{2}\\\\\\C=\dfrac{(2,-1)+(2,5)}{2}\\\\\\C=\dfrac{(2+2,-1+5)}{2}\\\\\\C=\dfrac{1}{2}(4,4)\\\\\\\boxed{\boxed{C=(2,2)}}$

Achando 'c' (a distância entre um foco e o centro da elipse):

$c=d(F_{1},C)\\\\c=\sqrt{(2-2)^{2}+(-1-2)^{2}}\\\\c=\sqrt{0^{2}+(-3)^{2}}\\\\c=\sqrt{9}\\\\\boxed{\boxed{c=3}}$

Achando 'a' (semieixo maior):

$a=\dfrac{eixo~maior}{2}=\dfrac{10}{2}=5$

Achando 'b' (semieixo menor da elipse) pelo Teorema de Pitágoras:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}\\\\5^{2}=b^{2}+3^{2}\\\\25-9=b^{2}\\\\b^{2}=16$
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Equação geral da elipse:

$\dfrac{(y-k)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1$

(A elipse tem eixo focal vertical, já que os focos possuem x iguais)

OBS: C(h,k) é o centro da elipse

Então, substituindo 'h', 'k', 'a' e 'b', temos:

$\dfrac{(y-2)^{2}}{5^{2}}+\dfrac{(x-2)^{2}}{16}=1\\\\\\\dfrac{y^{2}-4y+4}{25}+\dfrac{x^{2}-4x+4}{16}=1$

Multiplicando todos os membros por (16 . 25):

$16\cdot(y^{2}-4y+4)+25\cdot(x^{2}-4x+4)=16\cdot25\\\\16y^{2}-64y+64+25x^{2}-100x+100=400\\\\25x^{2}+16y^{2}-100x-64y+164-400=0\\\\\boxed{\boxed{25x^{2}+16y^{2}-100x-64y-236=0}}$